Quảis dos seguintes operadores são ortogonais?
a) \mathbf{T}: \mathbf{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathbf{T}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{x}-\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{y}, \frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{x}+\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{y}\right)
b) \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(-\mathrm{y},-\mathrm{x})
c) \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y})

Passo 1

O enunciado dá três transformações lineares de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 e pergunta quais são ortogonais. Lembrando que uma transformação linear é ortogonal se, e somente se, sua matriz A na base canônica satisfaz
A^{T}A = I_{2},
ou seja, preserva produto interno e comprimentos. Para cada caso, vamos obter a matriz associada e verificar essa condição.

Passo 2

Encontrar a matriz de cada operador na base canônica:
Para (a)
T_a(x,y)=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}x-\tfrac{1}{\sqrt2}y,\;\tfrac{1}{\sqrt2}x+\tfrac{1}{\sqrt2}y\Bigr)
tem matriz
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2} & -\tfrac{1}{\sqrt2}\\[6pt] \tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}.
Para (b)
T_b(x,y)=(-y,-x)
tem matriz
B=\begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.
Para (c)
T_c(x,y)=(x+y,\;x-y)
tem matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificar ortogonalidade de (a). Calculamos
A^{T}A =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2}\\[3pt] -\tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2} & -\tfrac{1}{\sqrt2}\\[3pt] \tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Como A^{T}A=I_2, T_a é ortogonal.]

Passo 4

Verificar ortogonalidade de (b). Calculamos
B^{T}B =\begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Como B^{T}B=I_2, T_b é ortogonal.]

Passo 5

Verificar ortogonalidade de (c). Calculamos
C^{T}C =\begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}=2I_2\neq I_2.
Como C^{T}C não é I_2, T_c não é ortogonal.]

Resposta

Os operadores ortogonais são (a) e (b).

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