Quảis dos seguintes operadores são ortogonais?
a) \mathbf{T}: \mathbf{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathbf{T}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{x}-\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{y}, \frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{x}+\frac{1}{\sqrt{2}} \mathbf{y}\right)
b) \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(-\mathrm{y},-\mathrm{x})
c) \mathbf{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y})
Passo 1
O enunciado dá três transformações lineares de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 e pergunta quais são ortogonais. Lembrando que uma transformação linear é ortogonal se, e somente se, sua matriz A na base canônica satisfaz
A^{T}A = I_{2},
ou seja, preserva produto interno e comprimentos. Para cada caso, vamos obter a matriz associada e verificar essa condição.
Passo 2
Encontrar a matriz de cada operador na base canônica:
Para (a)