Questão 2 Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
/ 4 p.
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 3 z)
(a) Calcule a matriz de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(b) Calcule o polinômio característico de T.
(c) Calcule os autovalores de T.
(d) Calcule os autoespaços de T associados aos seus autovalores.
(e) Considerando \mathbb{R}^{3} com o produto interno canônico, existe algum vetor v \in \mathbb{R}^{3} tal que \|v\|=1 e T(v)=2 v ? Se exisitir, forneça um tal vetor. Se não existir, justifique.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (x+y+z,\;2y+z,\;3z),
e pede:
  1. a matriz de T na base canônica;
  2. o polinômio característico;
  3. os autovalores;
  4. os autoespaços associados;
  5. saber se existe vetor unitário v tal que T(v)=2v.
    O conteúdo é álgebra linear: matriz, determinante, autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculamos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,0),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(1,2,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,3).
Cada imagem vira uma coluna da matriz. Assim,
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\\\ 0 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(\lambda), isto é,
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 3.

Passo 5

Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
\lambda=1\colon \begin{cases} y+z=0,\\\ z=0 \end{cases} \implies z=0,\;y=0,\;x\\ \text{livre} \;\Rightarrow\; E_1 = \{(x,0,0)\}=\Span\{(1,0,0)\}.
\lambda=2\colon \begin{cases} -x+y+z=0,\\\ z=0 \end{cases} \implies z=0,\;y=x \;\Rightarrow\; E_2 = \{(x,x,0)\}=\Span\{(1,1,0)\}.
\lambda=3\colon \begin{cases} -2x+y+z=0,\\\\ -y+z=0 \end{cases} \implies z=y,\;2y=2x\;\Rightarrow\;x=y=z \;\Rightarrow\; E_3 = \{(t,t,t)\}=\Span\{(1,1,1)\}.

Passo 6

Perguntam se existe vetor v de norma 1 com T(v)=2v. Como 2 é autovalor, basta normalizar um gerador de E_2. Tomando w=(1,1,0), sua norma é \|w\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}. Logo
v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)
satisfaz \|v\|=1 e T(v)=2v.

Resposta

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 0&2&1\\\ 0&0&3\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle p(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).
(c) \displaystyle \lambda=1,2,3.
(d) \displaystyle E_1=\Span\{(1,0,0)\},\;E_2=\Span\{(1,1,0)\},\;E_3=\Span\{(1,1,1)\}.
(e) Sim. Um exemplo é \displaystyle v=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0), pois \|v\|=1 e T(v)=2v.

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