Questão 2 Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
/ 4 p.
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 3 z)
(a) Calcule a matriz de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.
(b) Calcule o polinômio característico de T.
(c) Calcule os autovalores de T.
(d) Calcule os autoespaços de T associados aos seus autovalores.
(e) Considerando \mathbb{R}^{3} com o produto interno canônico, existe algum vetor v \in \mathbb{R}^{3} tal que \|v\|=1 e T(v)=2 v ? Se exisitir, forneça um tal vetor. Se não existir, justifique.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (x+y+z,\;2y+z,\;3z),
e pede:
a matriz de T na base canônica;
o polinômio característico;
os autovalores;
os autoespaços associados;
saber se existe vetor unitário v tal que T(v)=2v.
O conteúdo é álgebra linear: matriz, determinante, autovalores e autovetores.
Passo 2
Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, calculamos
Perguntam se existe vetor v de norma 1 com T(v)=2v. Como 2 é autovalor, basta normalizar um gerador de E_2. Tomando w=(1,1,0), sua norma é \|w\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}. Logo
v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)
satisfaz \|v\|=1 e T(v)=2v.
Resposta
(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 0&2&1\\\ 0&0&3\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle p(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).
(c) \displaystyle \lambda=1,2,3.
(d) \displaystyle E_1=\Span\{(1,0,0)\},\;E_2=\Span\{(1,1,0)\},\;E_3=\Span\{(1,1,1)\}.
(e) Sim. Um exemplo é \displaystyle v=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0), pois \|v\|=1 e T(v)=2v.