Questão 3 Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{4} com o produto interno dado por
/ 2 p.
\left\langle\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right),\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right)\right\rangle=2 x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}+x_{4} y_{4}
Encontre uma base para W^{\perp}, sendo W=[(1,2,0,-1),(2,0,-1,1)].

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathbb{R}^4 com o produto interno
\big\langle(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}),\,(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})\big\rangle =2x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}
e o subespaço W gerado pelos vetores (1,2,0,-1) e (2,0,-1,1). Queremos uma base de
W^{\perp}=\bigl\{x\in\mathbb{R}^4\mid\langle x,w\rangle=0\\ \forall\,w\in W\bigr\}.

Passo 2

Escrevemos x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e impomos ortogonalidade aos geradores de W:
  1. \langle x,(1,2,0,-1)\rangle=0
2x_{1}\cdot1 + x_{2}\cdot2 + x_{3}\cdot0 + x_{4}\cdot(-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}+2x_{2}-x_{4}=0.
  1. \langle x,(2,0,-1,1)\rangle=0
2x_{1}\cdot2 + x_{2}\cdot0 + x_{3}\cdot(-1) + x_{4}\cdot1=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{1}-x_{3}+x_{4}=0.

Passo 3

Resolvemos o sistema
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}-x_{4}=0,\\\\ 4x_{1}-x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}
Escolhemos variáveis livres x_{2}=s e x_{4}=t.
Da primeira equação,
2x_{1}=x_{4}-2x_{2}=t-2s \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\tfrac{t}{2}-s.
Da segunda,
x_{3}=4x_{1}+x_{4}=4\Bigl(\tfrac{t}{2}-s\Bigr)+t=2t-4s+t=3t-4s.

Passo 4

O vetor genérico é
x=\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) =\Bigl(\tfrac{t}{2}-s,\;s,\;3t-4s,\;t\Bigr) =s\bigl(-1,1,-4,0\bigr)+t\bigl(\tfrac12,0,3,1\bigr).
Para evitar fração, dobramos o segundo gerador:
\bigl(\tfrac12,0,3,1\bigr)\longmapsto (1,0,6,2).

Passo 5

Concluímos que dois vetores independentes que geram W^{\perp} são
(-1,1,-4,0) \quad\text{e}\quad (1,0,6,2).

Resposta

Uma base de W^{\perp} é
\{\,(-1,1,-4,0),\,(1,0,6,2)\}.

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