Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Os pontos A=(1,2,3), B=(1,1,-1), C=(3,0,0) e D=(0,4,1) são coplanares.
Passo 1
O enunciado afirma que os pontos A=(1,2,3), B=(1,1,-1), C=(3,0,0) e D=(0,4,1) são coplanares. A tarefa é justificar por que essa afirmação é falsa.
Informações dadas:
As coordenadas de A, B, C e D são exatamente as acima.
Precisamos decidir se esses quatro pontos pertencem ou não a um mesmo plano no espaço.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicada com calma): se quatro pontos A,B,C,D são coplanares, então os três vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} são coplanares, isto é, ficam no mesmo plano e, portanto, são linearmente dependentes. Um teste direto e prático para isso é calcular o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois):
Se esse número for zero, o paralelepípedo formado por \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} tem volume zero e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, os vetores (e portanto os quatro pontos) não são coplanares. Vou aplicar isso com \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}.
Passo 3
Vou calcular primeiro os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}. A regra é subtrair coordenada a coordenada (final menos inicial):
Aqui mostrei cada subtração coordenada a coordenada para você poder reproduzir na prova.
Passo 5
Agora explico o produto vetorial e depois aplico: para dois vetores \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) e \overrightarrow{w}=(w_1,w_2,w_3), o produto vetorial \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} é o vetor
Agora o produto misto [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}] é o produto escalar de \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}. O produto escalar de (x_1,x_2,x_3) com (y_1,y_2,y_3) é x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. Então:
Interpretação e conclusão: o produto misto deu -15, que é diferente de zero. Geometricamente isso significa que o paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} tem volume |-15|=15 (unidades cúbicas). Como o volume é não nulo, os três vetores são linearmente independentes e não estão no mesmo plano. Logo os quatro pontos A,B,C,D não pertencem a um mesmo plano — a afirmação original é falsa.
Força aí — você consegue aplicar esse teste em qualquer exercício parecido: compute três vetores a partir de um ponto e avalie o produto misto; zero → coplanares, diferente de zero → não coplanares.