Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Os pontos A=(1,2,3), B=(1,1,-1), C=(3,0,0) e D=(0,4,1) são coplanares.

Passo 1

O enunciado afirma que os pontos A=(1,2,3), B=(1,1,-1), C=(3,0,0) e D=(0,4,1) são coplanares. A tarefa é justificar por que essa afirmação é falsa.
Informações dadas:
  • As coordenadas de A, B, C e D são exatamente as acima.
  • Precisamos decidir se esses quatro pontos pertencem ou não a um mesmo plano no espaço.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicada com calma): se quatro pontos A,B,C,D são coplanares, então os três vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} são coplanares, isto é, ficam no mesmo plano e, portanto, são linearmente dependentes. Um teste direto e prático para isso é calcular o produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois):
[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]=\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}).
Se esse número for zero, o paralelepípedo formado por \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} tem volume zero e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, os vetores (e portanto os quatro pontos) não são coplanares. Vou aplicar isso com \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}.

Passo 3

Vou calcular primeiro os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}. A regra é subtrair coordenada a coordenada (final menos inicial):
\overrightarrow{AB}=B-A,\qquad \overrightarrow{AC}=C-A,\qquad \overrightarrow{AD}=D-A.

Passo 4

Calculemos cada um explicitamente:
\overrightarrow{AB} = (1,1,-1)-(1,2,3) = (0,-1,-4),
\overrightarrow{AC} = (3,0,0)-(1,2,3) = (2,-2,-3),
\overrightarrow{AD} = (0,4,1)-(1,2,3) = (-1,2,-2).
Aqui mostrei cada subtração coordenada a coordenada para você poder reproduzir na prova.

Passo 5

Agora explico o produto vetorial e depois aplico: para dois vetores \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) e \overrightarrow{w}=(w_1,w_2,w_3), o produto vetorial \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} é o vetor
\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\big).
Esse vetor é perpendicular a ambos \overrightarrow{v} e \overrightarrow{w}.
Vou calcular \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} usando a fórmula acima com \overrightarrow{AC}=(2,-2,-3) e \overrightarrow{AD}=(-1,2,-2).

Passo 6

Cálculo coordenada a coordenada do produto vetorial:
(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})_1 = (-2)\cdot(-2) - (-3)\cdot 2 = 4 - (-6) = 10,
(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})_2 = (-3)\cdot(-1) - 2\cdot(-2) = 3 - (-4) = 7,
(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})_3 = 2\cdot 2 - (-2)\cdot(-1) = 4 - 2 = 2.
Portanto
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = (10,7,2).

Passo 7

Agora o produto misto [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}] é o produto escalar de \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}. O produto escalar de (x_1,x_2,x_3) com (y_1,y_2,y_3) é x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. Então:
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}) = (0,-1,-4)\cdot(10,7,2).
Calculemos:
0\cdot 10 + (-1)\cdot 7 + (-4)\cdot 2 = 0 -7 -8 = -15.

Passo 8

Interpretação e conclusão: o produto misto deu -15, que é diferente de zero. Geometricamente isso significa que o paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} tem volume |-15|=15 (unidades cúbicas). Como o volume é não nulo, os três vetores são linearmente independentes e não estão no mesmo plano. Logo os quatro pontos A,B,C,D não pertencem a um mesmo plano — a afirmação original é falsa.
Força aí — você consegue aplicar esse teste em qualquer exercício parecido: compute três vetores a partir de um ponto e avalie o produto misto; zero → coplanares, diferente de zero → não coplanares.

Resposta

Os pontos não são coplanares.

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