Questão 1 Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por
/ 2 p.
T(x, y)=(2 x+y, x+y)
(a) Calcule a matriz de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(b) Utilize a matriz de T obtida no item (a) para concluir que T é um isomorfismo e para encontrar T^{-1}(x, y).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (2x+y,\;x+y),
e pede:
– (a) a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2.
– (b) usar essa matriz para mostrar que T é um isomorfismo e encontrar T^{-1}(x,y).
O conteúdo necessário envolve representação matricial de operadores lineares, cálculo de determinante e matriz inversa.

Passo 2

Para obter a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}, calculamos
T(e_1)=T(1,0)=(2\cdot1+0,\;1+0)=(2,1),\quad T(e_2)=T(0,1)=(0+1,\;0+1)=(1,1).
As colunas da matriz são T(e_1) e T(e_2).

Passo 3

Portanto a matriz A de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante
\det A = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1 \neq 0,
logo A é invertível e T é um isomorfismo.

Passo 4

A matriz inversa de A é dada por \tfrac1{\det A} vezes a adjunta de A. Como \det A=1,
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
Assim, para (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(x,y) = A^{-1}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \bigl(x - y,\;-x + 2y\bigr).

Resposta

(a) A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Como \det A=1\neq0, T é isomorfismo e
T^{-1}(x,y) = \bigl(x - y,\;-x + 2y\bigr).

Exercícios relacionados