Questão 5 Considere a matris
A=\left(\begin{array}{rrrr} -\frac{1}{6} & -\frac{2}{6} & -\frac{1}{6} & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -\frac{6}{6} & -\frac{2}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\\\ 6 & -8 & -\frac{8}{6} & -1 \end{array}\right)
(a) Determine todos os autovalores de A.
(b) Se m é seu número de matricula, determine a matris \AA^{m}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{6} & -\tfrac{1}{6} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] -\tfrac{6}{6} & -\tfrac{2}{6} & \tfrac{1}{6} & 0 \\[6pt] 6 & -8 & -\tfrac{8}{6} & -1 \end{pmatrix}
e pede (a) todos os autovalores e (b) a expressão de A^m, sendo m o número de matrícula. O conteúdo principal aqui é diagonalização de matrizes (ou, equivalentemente, uso do polinômio mínimo e de autovalores) para calcular potências de A.]

Passo 2

Repare que A é triangular por blocos da forma
\begin{pmatrix} B & 0 \\[3pt] \ast & -1 \end{pmatrix},
onde
B = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{pmatrix}.
Logo os autovalores de A são os autovalores de B e o escalar -1.]

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico de B. Escrevendo
p_B(\lambda) = \det\!\bigl(B - \lambda I_3\bigr) = \lambda^3 - (\mathrm{tr}\,B)\,\lambda^2 + S_2\,\lambda - \det B,
em que \mathrm{tr}\,B = -\tfrac{1}{6} + 1 + \tfrac{1}{6} = 1,
os somatórios de menores principais dão S_2 = -\tfrac{7}{36} e \det B = -\tfrac{7}{36}.
Assim
p_B(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 - \tfrac{7}{36}\lambda + \tfrac{7}{36} \;\Longrightarrow\; 36\lambda^3 -36\lambda^2 -7\lambda +7 = 0.
Testando \lambda=1 vemos que é raiz, e dividindo por (\lambda-1) obtemos
36\lambda^2 -7 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm \frac{\sqrt{7}}{6}.

Passo 4

Concluímos que os autovalores de B são
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = \frac{\sqrt{7}}{6}, \quad \lambda_3 = -\frac{\sqrt{7}}{6},
e mais o autovalor \lambda_4 = -1 vindo do bloco -1. Portanto todos os autovalores de A são
\boxed{\,1,\;\frac{\sqrt{7}}{6},\;-\frac{\sqrt{7}}{6},\;-1\,}.

Passo 5

Como A tem quatro autovalores distintos, ela é diagonalizável: existe P tal que
A = P \begin{pmatrix} 1 & & & \\[3pt] & \tfrac{\sqrt{7}}{6} & & \\[3pt] & & -\tfrac{\sqrt{7}}{6} & \\[3pt] & & & -1 \end{pmatrix} P^{-1}.
Daí, para qualquer inteiro m,
A^m = P \begin{pmatrix} 1^m & & & \\[3pt] & \bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{6}\bigr)^m & & \\[3pt] & & \bigl(-\tfrac{\sqrt{7}}{6}\bigr)^m & \\[3pt] & & & (-1)^m \end{pmatrix} P^{-1}.
Essa é a forma geral de A^m. Se o número de matrícula for conhecido, basta substituir esse valor de m nas potências acima.]

Resposta

(a) Os autovalores são
1,\quad \frac{\sqrt{7}}{6},\quad -\frac{\sqrt{7}}{6},\quad -1.
(b) Em notação de diagonalização,
A^m = P \begin{pmatrix} 1^m & & & \\[3pt] & \bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{6}\bigr)^m & & \\[3pt] & & \bigl(-\tfrac{\sqrt{7}}{6}\bigr)^m & \\[3pt] & & & (-1)^m \end{pmatrix} P^{-1},
onde m é o número de matrícula.]

Exercícios relacionados