Questão 5) ( 8 pts ) Considere a curva r(t)=\langle\cos t, 2 \operatorname{sen} t, 1\rangle.
Calcule r^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=\langle \cos t,\;2\operatorname{sen} t,\;1\rangle
e pede sua derivada em t=0. O conteúdo é derivação de funções vetoriais, que se faz componente a componente usando as derivadas básicas de \cos e \operatorname{sen}.

Passo 2

Derivando cada componente, temos
\frac{d}{dt}(\cos t)=-\operatorname{sen} t,\qquad \frac{d}{dt}(2\operatorname{sen} t)=2\cos t,\qquad \frac{d}{dt}(1)=0.
Portanto
r'(t)=\langle -\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;0\rangle.

Passo 3

Agora avaliamos em t=0:
-\operatorname{sen}(0)=0,\quad 2\cos(0)=2,\quad 0=0,
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r'(0)=\langle 0,\,2,\,0\rangle.

Resposta

\langle 0,2,0\rangle

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