{ }^{a} Questão.(2.5 pontos) Calcule o fluxo do campo \mathbf{F}(x, y, z)=(x, y, z+1) através da superficie lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=4, entre os planos z=1 e z=4. Clumbers that.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z+1) através da superfície lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=4 entre os planos z=1 e z=4. Vamos usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo pela superfície fechada (lateral + tampas) e depois subtrair as contribuições das tampas superior e inferior para obter só a superfície lateral.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\div \mathbf{F} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial (z+1)}{\partial z} =1+1+1=3.
O volume V do cilindro de raio 2 e altura 4-1=3 é V=\pi\cdot2^{2}\cdot3=12\pi. Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pela superfície fechada é
\Phi_{\text{fechada}} =\iiint_{V}\div \mathbf{F}\,dV =3\cdot12\pi=36\pi.

Passo 3

Fluxo pela tampa superior z=4. A normal externa aponta para +k, e em toda a tampa \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=(z+1)=5. Logo,
\Phi_{\text{sup}} =\iint_{\text{disco }r\le2}5\,dA =5\cdot(\pi\cdot2^{2}) =20\pi.

Passo 4

Fluxo pela tampa inferior z=1. A normal externa aponta para -k, e \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=-(z+1)=-2. Assim,
\Phi_{\text{inf}} =\iint_{\text{disco }r\le2}(-2)\,dA =-2\cdot(\pi\cdot2^{2}) =-8\pi.

Passo 5

O fluxo pela superfície lateral é
\Phi_{\text{lat}} =\Phi_{\text{fechada}}-\Phi_{\text{sup}}-\Phi_{\text{inf}} =36\pi-20\pi-(-8\pi) =24\pi.

Resposta

O fluxo pela superfície lateral do cilindro é 24\pi.

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