Questāo 5 Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{rrrr} -\frac{1}{6} & -\frac{2}{5} & -\frac{4}{5} & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -\frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\\ \frac{2}{5} & -\frac{8}{5} & -\frac{2}{5} & -1 \end{array}\right)
(a) Determine todos os autovalores de A.
(b) Se m é seu número de matrícula, determine a matriz A^{m}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{6}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\\ \tfrac{2}{5} & -\tfrac{8}{5} & -\tfrac{2}{5} & -1 \end{pmatrix}
e pede (a) todos os autovalores e (b) a matriz A^m, onde m é o número de matrícula. Vamos usar o fato de que A é triangular por blocos e, em seguida, diagonalizá-la para elevar à potência m.

Passo 2

Observe que A é bloco-triangular, pois a quarta coluna tem zeros nas três primeiras linhas e o elemento (4,4) vale -1. Logo, os autovalores de A são os autovalores do bloco 3\times3
M=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -\tfrac{6}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}
mais o autovalor -1 vindo do canto inferior direito.

Passo 3

O bloco M também é triangular por blocos, pois a segunda linha é (0,1,0). Assim um autovalor é \lambda=1 e os outros dois vêm do menor 2\times2 obtido removendo a linha 2 e coluna 2:
\begin{vmatrix} -\tfrac{1}{6}-\lambda & -\tfrac{4}{5}\\[6pt] -\tfrac{6}{5} & \tfrac{1}{5}-\lambda \end{vmatrix} =0.
Isso dá a equação
\lambda^2-\tfrac{1}{30}\,\lambda-\tfrac{149}{150}=0,
cuja solução é
\lambda_{\pm} =\frac{1\pm\sqrt{3577}}{60}.]

Passo 4

Portanto, os quatro autovalores de A são
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=-1,\quad \lambda_3=\frac{1+\sqrt{3577}}{60},\quad \lambda_4=\frac{1-\sqrt{3577}}{60}.

Passo 5

Como A tem quatro autovalores distintos, ela é diagonalizável: existem uma matriz invertível P cujas colunas são autovetores correspondentes e
A=P\,D\,P^{-1},
onde
D=\operatorname{diag}\bigl(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\bigr).
Então, para qualquer inteiro m,
A^{m} =P\,D^{m}\,P^{-1} =P\, \begin{pmatrix} 1^{m} & & & \\\ &(-1)^{m} & & \\\ & &\bigl(\tfrac{1+\sqrt{3577}}{60}\bigr)^{m}& \\\ & & &\bigl(\tfrac{1-\sqrt{3577}}{60}\bigr)^{m} \end{pmatrix} \,P^{-1}.

Resposta

(a) Os autovalores são
1,\;-1,\;\frac{1+\sqrt{3577}}{60},\;\frac{1-\sqrt{3577}}{60}.
(b) Como A=PDP^{-1},
A^{m} =P \begin{pmatrix} 1 & & & \\\ &(-1)^{m} & & \\\ & &\bigl(\tfrac{1+\sqrt{3577}}{60}\bigr)^{m}& \\\ & & &\bigl(\tfrac{1-\sqrt{3577}}{60}\bigr)^{m} \end{pmatrix} P^{-1}.

Exercícios relacionados