Questão 3 Sejam W \subseteq \mathbb{R}^{3} \in U=\left\{u \in \mathbb{R}^{3} ; u \bullet w=0 \forall w \in W\right\}. A expressão u \bullet w denota o produto escalar usual em \mathbb{R}^{3} de u com w. Verifique se as afirmações são falsas ou verdadeiras:
(a) U é subspaço de \mathbb{R}^{3};
(b) \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.

Passo 1

O enunciado define W\subseteq\mathbb{R}^3 e
U=\{\,u\in\mathbb{R}^3\mid u\bullet w=0\\ \forall w\in W\}.
O conteúdo é subespaços vetoriais e complemento ortogonal. Vamos primeiro mostrar que U é subespaço e depois discutir se \mathbb{R}^3=U\oplus W.

Passo 2

Para provar que U é subespaço de \mathbb{R}^3 precisamos verificar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in U.
  2. Se u_1,u_2\in U então u_1+u_2\in U.
  3. Se u\in U e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in U.
(i) Como \mathbf{0}\bullet w=0 para todo w, temos \mathbf{0}\in U.
(ii) Se u_1\bullet w=0 e u_2\bullet w=0 então
(u_1+u_2)\bullet w = u_1\bullet w + u_2\bullet w = 0+0 =0,
logo u_1+u_2\in U.
(iii) Se u\bullet w=0 então
(\lambda u)\bullet w = \lambda\,(u\bullet w) = \lambda\cdot0 =0,
portanto \lambda u\in U.
Assim todas as propriedades estão satisfeitas e U é subespaço.

Passo 3

Concluímos que a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Para que \mathbb{R}^3 = U \oplus W é preciso:
  • U\cap W = \{\mathbf{0}\}.
  • U+W = \mathbb{R}^3.
Primeiro, se v\in U\cap W então v\bullet v=0, pois v\in U. Logo
\|v\|^2 = v\bullet v = 0
implica v=\mathbf{0}$, mostrando U\cap W=\{\mathbf{0}\}.

Passo 5

A condição U+W=\mathbb{R}^3 pode falhar se W não for um subespaço. Por exemplo, tome
W = \{(1,0,0),\,(0,1,0)\},
que não é fechado sob soma. Então
U = \{\,u\in\mathbb{R}^3 \mid u\bullet(1,0,0)=0,\; u\bullet(0,1,0)=0\}
é o eixo z. O conjunto
U+W=\{w+u\mid w\in W,\;u\in U\}
contém vetores da forma (1,0,z) ou (0,1,z), mas não contém, por exemplo, (1,1,0). Logo U+W\neq\mathbb{R}^3 e a soma direta não vale.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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