Questão 3 Sejam
. A expressão
denota o produto escalar usual em
de
com
. Verifique se as afirmações são falsas ou verdadeiras:
(a)
é subspaço de
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado define
e
O conteúdo é subespaços vetoriais e complemento ortogonal. Vamos primeiro mostrar que
é subespaço e depois discutir se
.
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
precisamos verificar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
(i) Como
para todo
, temos
.
(ii) Se
e
então
logo
.
(iii) Se
então
portanto
.
Assim todas as propriedades estão satisfeitas e
é subespaço.
Passo 3
Concluímos que a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Para que
é preciso:
-
. -
.
Primeiro, se
então
, pois
. Logo
implica
, mostrando
.
Passo 5
A condição
pode falhar se
não for um subespaço. Por exemplo, tome
que não é fechado sob soma. Então
é o eixo
. O conjunto
contém vetores da forma
ou
, mas não contém, por exemplo,
. Logo
e a soma direta não vale.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(b) Falsa.