e pede a inversa de \mathrm{I}-\mathrm{A}, onde \mathrm{I} é a matriz identidade 4\times4.
Informações importantes que temos neste passo:
\mathrm{A} é uma matriz 4\times4 estritamente triangular superior (todos os elementos na diagonal principal são 0 e há 1s na primeira superdiagonal).
A tarefa é encontrar (\mathrm{I}-\mathrm{A})^{-1}.
Passo 2
Observação sobre potências de \mathrm{A} (explicação didática):
Uma matriz é chamada nilpotente se existe um inteiro k tal que \mathrm{A}^k=\mathrm{0} (matriz nula). Para matrizes estritamente triangulares superiores de dimensão n vale sempre \mathrm{A}^n=\mathrm{0}. Intuição simples: cada multiplicação “desloca” os elementos não nulos para superdiagonais mais à direita; após n multiplicações tudo sai da matriz.
Aplicando aqui, como \mathrm{A} é 4\times4 estritamente superior, temos \mathrm{A}^4=\mathrm{0}. Para entender melhor, calculemos \mathrm{A}^2 e \mathrm{A}^3 explicitamente (mostrando como se obtêm pelo produto linha×coluna).
Explicação do cálculo: por exemplo, a entrada (1,3) de \mathrm{A}^2 é a soma dos produtos da linha 1 de \mathrm{A} com a coluna 3 de \mathrm{A}. Só há um produto não nulo, 1\cdot1, dando (\mathrm{A}^2)_{1,3}=1. O mesmo raciocínio dá as outras entradas indicadas.
Isso é um procedimento muito prático em provas: verificar nilpotência (aqui \mathrm{A}^4=0) e somar as potências até uma potência imediatamente anterior à que zera.
Passo 5
Interpretação do resultado (o que significa em termos das entradas): somando \mathrm{I}, \mathrm{A}, \mathrm{A}^2 e \mathrm{A}^3 cada diagonal e cada superdiagonal até a terceira recebe os 1s correspondentes; a diagonal principal fica com 1s vindos de \mathrm{I}. Não repito aqui a matriz final (a resposta final está logo abaixo), mas essa é a forma de obter todas as entradas de maneira mecânica na prova: calcular potências até zerar e somar.