Questão 9. Considere a matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right). Determine a inversa de \mathrm{I}-\mathrm{A}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
e pede a inversa de \mathrm{I}-\mathrm{A}, onde \mathrm{I} é a matriz identidade 4\times4.
Informações importantes que temos neste passo:
  • \mathrm{A} é uma matriz 4\times4 estritamente triangular superior (todos os elementos na diagonal principal são 0 e há 1s na primeira superdiagonal).
  • A tarefa é encontrar (\mathrm{I}-\mathrm{A})^{-1}.

Passo 2

Observação sobre potências de \mathrm{A} (explicação didática):
Uma matriz é chamada nilpotente se existe um inteiro k tal que \mathrm{A}^k=\mathrm{0} (matriz nula). Para matrizes estritamente triangulares superiores de dimensão n vale sempre \mathrm{A}^n=\mathrm{0}. Intuição simples: cada multiplicação “desloca” os elementos não nulos para superdiagonais mais à direita; após n multiplicações tudo sai da matriz.
Aplicando aqui, como \mathrm{A} é 4\times4 estritamente superior, temos \mathrm{A}^4=\mathrm{0}. Para entender melhor, calculemos \mathrm{A}^2 e \mathrm{A}^3 explicitamente (mostrando como se obtêm pelo produto linha×coluna).
Cálculo de \mathrm{A}^2:
\mathrm{A}^2=\mathrm{A}\,\mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Explicação do cálculo: por exemplo, a entrada (1,3) de \mathrm{A}^2 é a soma dos produtos da linha 1 de \mathrm{A} com a coluna 3 de \mathrm{A}. Só há um produto não nulo, 1\cdot1, dando (\mathrm{A}^2)_{1,3}=1. O mesmo raciocínio dá as outras entradas indicadas.
Cálculo de \mathrm{A}^3:
\mathrm{A}^3=\mathrm{A}^2\mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
E \mathrm{A}^4=\mathrm{0} (matriz 4\times4 nula), porque não existem mais superdiagonais para ocupar.

Passo 3

Fórmula útil (explicação teórica e prova curta): se uma matriz \mathrm{A} satisfaz \mathrm{A}^{m+1}=\mathrm{0}, então
(\mathrm{I}-\mathrm{A})\bigl(\mathrm{I}+\mathrm{A}+\mathrm{A}^2+\cdots+\mathrm{A}^{m}\bigr)=\mathrm{I}-\mathrm{A}^{m+1}=\mathrm{I}.
Isto vem da identidade algébrica da soma geométrica estendida a matrizes:
(\mathrm{I}-\mathrm{A})\sum_{k=0}^{m}\mathrm{A}^k=\sum_{k=0}^{m}\mathrm{A}^k-\sum_{k=0}^{m}\mathrm{A}^{k+1}=\mathrm{I}-\mathrm{A}^{m+1}.
Se \mathrm{A}^{m+1}=\mathrm{0}, o produto é exatamente \mathrm{I}, logo \sum_{k=0}^{m}\mathrm{A}^k é a inversa de \mathrm{I}-\mathrm{A}.

Passo 4

Aplicando o item anterior ao nosso caso: como vimos \mathrm{A}^4=\mathrm{0}, podemos tomar m=3. Assim
(\mathrm{I}-\mathrm{A})^{-1}=\mathrm{I}+\mathrm{A}+\mathrm{A}^2+\mathrm{A}^3.
Isso é um procedimento muito prático em provas: verificar nilpotência (aqui \mathrm{A}^4=0) e somar as potências até uma potência imediatamente anterior à que zera.

Passo 5

Interpretação do resultado (o que significa em termos das entradas): somando \mathrm{I}, \mathrm{A}, \mathrm{A}^2 e \mathrm{A}^3 cada diagonal e cada superdiagonal até a terceira recebe os 1s correspondentes; a diagonal principal fica com 1s vindos de \mathrm{I}. Não repito aqui a matriz final (a resposta final está logo abaixo), mas essa é a forma de obter todas as entradas de maneira mecânica na prova: calcular potências até zerar e somar.

Resposta

(\mathrm{I}-\mathrm{A})^{-1}= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

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