Questão 8. Encontre a soma de todas as bases inteiras b > 9 para as quais 17b é um divisor de
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos como informação:
- Precisamos encontrar todas as bases inteiras
tais que o número escrito como em base é um divisor do número escrito como em base . - Informações dadas:
- A base é um inteiro
e tem que satisfazer . - Os numerais são
e (isto é, os dígitos são e respectivamente).
- A base é um inteiro
- O que se pede: a soma de todas as bases inteiras
que satisfazem a condição .
Passo 2
Primeiro passo técnico: converter os números de base
para a forma polinomial em
(isto é, para a expressão em termos de
).
- O número
representa . Logo,
- O número
representa . Logo,
Explicação curta: em base
o dígito mais à esquerda tem peso
e o dígito da direita tem peso
; por isso
para um número de dois dígitos
.
Passo 3
Agora traduzimos a condição de divisibilidade
para uma condição em
. Em termos algébricos isso é:
Técnica útil (aula rápida): se um inteiro
divide dois números
e
, então
divide qualquer combinação linear inteira de
e
, por exemplo
para inteiro
. Aqui queremos eliminar o termo com
na combinação para obter um número puro (sem
).
Faço a combinação
Como
divide
and obviamente divide
, então
divide a diferença, isto é
Dividir
ou
é equivalente (só muda o sinal), então
Passo 4
Agora precisamos listar os divisores positivos de
que possam ser iguais a
. Primeiro fatoramos
:
Os divisores positivos de
são
Lembrando que
implica
. Portanto entre esses divisores só podem servir aqueles maiores que
, ou seja:
Passo 5
Desfazendo
obtemos as possíveis bases:
Agora checar validade dos dígitos (regra da base): os dígitos usados em
são
e
, e em
são
e
. É necessário que todos os dígitos sejam estritamente menores que a base
. Para
e
isso vale (pois
e
), e a condição
também é satisfeita. Portanto ambas as bases são válidas.
Monto a soma simbólica das bases que funcionam:
Passo 6
Resumo curto do raciocínio para a prova: converter números em base
para expressões polinomiais em
, montar a condição de divisibilidade, usar combinação linear para eliminar
e obter que
divide um inteiro fixo (
), então testar divisores de
que satisfaçam
e a condição de dígitos. As bases válidas são
e
.