Questão 8. Encontre a soma de todas as bases inteiras b > 9 para as quais 17b é um divisor de 97_{\mathrm{b}}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos como informação:
  • Precisamos encontrar todas as bases inteiras b>9 tais que o número escrito como 17 em base b é um divisor do número escrito como 97 em base b.
  • Informações dadas:
    • A base é um inteiro b e tem que satisfazer b>9.
    • Os numerais são 17_b e 97_b (isto é, os dígitos são 1,7 e 9,7 respectivamente).
  • O que se pede: a soma de todas as bases inteiras b>9 que satisfazem a condição 17_b \mid 97_b.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter os números de base b para a forma polinomial em b (isto é, para a expressão em termos de b).
  • O número 17_b representa \,1\cdot b + 7\,. Logo,
17_b = b+7.
  • O número 97_b representa \,9\cdot b + 7\,. Logo,
97_b = 9b+7.
Explicação curta: em base b o dígito mais à esquerda tem peso b e o dígito da direita tem peso 1; por isso ab + c para um número de dois dígitos ac_b.

Passo 3

Agora traduzimos a condição de divisibilidade 17_b \mid 97_b para uma condição em b. Em termos algébricos isso é:
b+7 \mid 9b+7.
Técnica útil (aula rápida): se um inteiro d divide dois números x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira de x e y, por exemplo x - k y para inteiro k. Aqui queremos eliminar o termo com b na combinação para obter um número puro (sem b).
Faço a combinação
(9b+7) - 9(b+7) = 9b+7 - 9b - 63 = -56.
Como b+7 divide 9b+7 and obviamente divide 9(b+7), então b+7 divide a diferença, isto é
b+7 \mid -56.
Dividir -56 ou 56 é equivalente (só muda o sinal), então
b+7 \mid 56.

Passo 4

Agora precisamos listar os divisores positivos de 56 que possam ser iguais a b+7. Primeiro fatoramos 56:
56 = 2^3 \cdot 7.
Os divisores positivos de 56 são
1,2,4,7,8,14,28,56.
Lembrando que b>9 implica b+7>16. Portanto entre esses divisores só podem servir aqueles maiores que 16, ou seja:
b+7 \in \{28,56\}.

Passo 5

Desfazendo b+7 obtemos as possíveis bases:
b+7=28 \Rightarrow b=21,
b+7=56 \Rightarrow b=49.
Agora checar validade dos dígitos (regra da base): os dígitos usados em 97_b são 9 e 7, e em 17_b são 1 e 7. É necessário que todos os dígitos sejam estritamente menores que a base b. Para b=21 e b=49 isso vale (pois 9<21,49 e 7<21,49), e a condição b>9 também é satisfeita. Portanto ambas as bases são válidas.
Monto a soma simbólica das bases que funcionam:
21 + 49.

Passo 6

Resumo curto do raciocínio para a prova: converter números em base b para expressões polinomiais em b, montar a condição de divisibilidade, usar combinação linear para eliminar b e obter que b+7 divide um inteiro fixo ( 56), então testar divisores de 56 que satisfaçam b>9 e a condição de dígitos. As bases válidas são b=21 e b=49.

Resposta

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