Calcular a soma S dos números formados por 1,11,111,\ldots até o último termo que tem 2026 dígitos (ou seja, somar todos os repunits com 1 até 2026 uns).
Calcular o resto que S deixa na divisão por 9.
Informações relevantes dadas:
O número de termos é n=2026.
O k-ésimo termo da soma é o número com k dígitos iguais a 1 (chamarei esse número de R_k).
Passo 2
Vamos escrever uma fórmula para o k-ésimo termo R_k. Um número com k dígitos iguais a 1 pode ser escrito como soma de potências de 10:
R_k = 1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{k-1}.
Isto é uma progressão geométrica finita com razão 10. A soma de uma PG geométrica com primeiro termo a e razão r em k termos é
a + ar + \cdots + ar^{k-1} = a\frac{r^k-1}{r-1}.
Aqui a=1 e r=10, portanto
R_k = \frac{10^{k}-1}{10-1}=\frac{10^{k}-1}{9}.
(Interpretação: R_k é o repunit com k uns.)
Passo 3
Agora escrevemos S como soma dos R_k para k=1 até n (com n=2026):
Essa é uma forma fechada exata para S. (Expandir 10^{2027} daria um número com 2028 dígitos — impraticável aqui — então a forma fechada é a resposta adequada.)
Passo 5
Agora vamos achar o resto de S ao dividir por 9. Vou usar aritmética modular e também uma ideia intuitiva com soma dos dígitos.
Observação útil: para qualquer inteiro, 10\equiv1\pmod{9}. Portanto 10^k\equiv1\pmod{9} para todo k. Então, para R_k=\dfrac{10^k-1}{9} vale
R_k \equiv \frac{1-1}{9}\pmod{9},
essa escrita não é direta em módulo porque divide por 9; é mais claro usar a outra representação de R_k como soma de potências:
(Isto coincide com a regra dos dígitos: o resto de um número ao dividir por 9 é congruente com a soma dos seus dígitos; R_k tem soma dos dígitos igual a k.)
Portanto
S=\sum_{k=1}^{n}R_k \equiv \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \pmod{9}.
Substituindo n=2026. Primeiro reduza n e n+1 modulo 9:
e 123 deixa resto 1 quando dividido por 9 (de fato 1+2+3=6, aqui resto é 6 — nota: este exemplo mostra a fórmula, o resto para n=3 é \frac{3\cdot4}{2}=6 como previsto).