Questão 1. Calcule o valor da soma, onde o último número possui 2026 digitos:
S=1+11+111+\ldots+\underbrace{111 \ldots 111}_{202611 \mathrm{~s}}
Calcule também o resto que a soma S deixa por 9 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a soma S dos números formados por 1,11,111,\ldots até o último termo que tem 2026 dígitos (ou seja, somar todos os repunits com 1 até 2026 uns).
  • Calcular o resto que S deixa na divisão por 9.
Informações relevantes dadas:
  • O número de termos é n=2026.
  • O k-ésimo termo da soma é o número com k dígitos iguais a 1 (chamarei esse número de R_k).

Passo 2

Vamos escrever uma fórmula para o k-ésimo termo R_k. Um número com k dígitos iguais a 1 pode ser escrito como soma de potências de 10:
R_k = 1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{k-1}.
Isto é uma progressão geométrica finita com razão 10. A soma de uma PG geométrica com primeiro termo a e razão r em k termos é
a + ar + \cdots + ar^{k-1} = a\frac{r^k-1}{r-1}.
Aqui a=1 e r=10, portanto
R_k = \frac{10^{k}-1}{10-1}=\frac{10^{k}-1}{9}.
(Interpretação: R_k é o repunit com k uns.)

Passo 3

Agora escrevemos S como soma dos R_k para k=1 até n (com n=2026):
S=\sum_{k=1}^{n} R_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^{k}-1}{9}=\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{n} (10^k-1).
Separe as duas somas:
\sum_{k=1}^{n} (10^k-1)=\sum_{k=1}^{n}10^k - \sum_{k=1}^{n}1.
A segunda soma é simplesmente n. A primeira soma é uma soma geométrica:
\sum_{k=1}^{n}10^k = 10 + 10^2 + \cdots + 10^n.
Usando a fórmula da soma da PG com primeiro termo 10, razão 10 e n termos:
\sum_{k=1}^{n}10^k = 10\frac{10^n-1}{10-1}= \frac{10(10^n-1)}{9}.
Substituindo de volta em S:
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{9}-n\right).
Colocando tudo em um único numerador (denominador comum 81):
S=\frac{10(10^n-1)-9n}{81}=\frac{10^{\,n+1}-10-9n}{81}.

Passo 4

Agora substituímos n=2026. Então
S=\frac{10^{2027}-10-9\cdot2026}{81}.
Calcule 9\cdot2026:
9\cdot2026=18234.
Logo
S=\frac{10^{2027}-10-18234}{81}=\frac{10^{2027}-18244}{81}.
Essa é uma forma fechada exata para S. (Expandir 10^{2027} daria um número com 2028 dígitos — impraticável aqui — então a forma fechada é a resposta adequada.)

Passo 5

Agora vamos achar o resto de S ao dividir por 9. Vou usar aritmética modular e também uma ideia intuitiva com soma dos dígitos.
Observação útil: para qualquer inteiro, 10\equiv1\pmod{9}. Portanto 10^k\equiv1\pmod{9} para todo k. Então, para R_k=\dfrac{10^k-1}{9} vale
R_k \equiv \frac{1-1}{9}\pmod{9},
essa escrita não é direta em módulo porque divide por 9; é mais claro usar a outra representação de R_k como soma de potências:
R_k = 1+10+\cdots+10^{k-1}\equiv 1+1+\cdots+1 \pmod{9},
com k termos na soma. Assim
R_k \equiv k \pmod{9}.
(Isto coincide com a regra dos dígitos: o resto de um número ao dividir por 9 é congruente com a soma dos seus dígitos; R_k tem soma dos dígitos igual a k.)
Portanto
S=\sum_{k=1}^{n}R_k \equiv \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \pmod{9}.
Substituindo n=2026. Primeiro reduza n e n+1 modulo 9:
2026 \equiv 1 \pmod{9}\quad\text{(pois }2025=9\cdot225\text{)},
2027 \equiv 2 \pmod{9}.
Logo
\frac{n(n+1)}{2} \equiv \frac{1\cdot 2}{2} \equiv 1 \pmod{9}.
Portanto o resto de S na divisão por 9 é 1.

Passo 6

Pequena verificação com exemplo pequeno para fixar a ideia (opcional mas didático): se n=3, temos S=1+11+111=123. Nossa fórmula dá
S=\frac{10^{4}-10-9\cdot3}{81}=\frac{10000-10-27}{81}=\frac{9963}{81}=123,
e 123 deixa resto 1 quando dividido por 9 (de fato 1+2+3=6, aqui resto é 6 — nota: este exemplo mostra a fórmula, o resto para n=3 é \frac{3\cdot4}{2}=6 como previsto).

Resposta

\displaystyle S=\frac{10^{2027}-18244}{81}
Resto de S por 9: \;1

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