4 (3) Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falso. Caso verdadeiro justifique em no máximo 3 linhas. Caso falso, dê um contra-exemplo.
(a) Se os sistemas e , com , possuem mesmo conjunto solução, então eles são equivalentes.
(b) Se A é uma matriz quadrada real de ordem , com e , então .
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de dois itens sobre sistemas lineares e matrizes nilpotentes. O conteúdo envolve sistema equivalente (operações elementares de linha) e existência de matrizes nilpotentes de posto não nulo.
Passo 2
Item (a): Se os sistemas e têm mesmo conjunto solução, são equivalentes?
Verdadeiro. Duas equações lineares definem o mesmo conjunto solução sse suas matrizes aumentadas são relacionadas por operações elementares de linha, isto é, existe inversível tal que
logo transformamos um sistema no outro.
Passo 3
Item (b): Se e , então ?
Falso. Contraexemplo em :