4 (3) Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falso. Caso verdadeiro justifique em no máximo 3 linhas. Caso falso, dê um contra-exemplo.
(a) Se os sistemas A X=Y e B X=tildeY, com A, B in Mn times n, possuem mesmo conjunto solução, então eles são equivalentes.
(b) Se A é uma matriz quadrada real de ordem n, com A^2=0 e n>2, então A=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de dois itens sobre sistemas lineares e matrizes nilpotentes. O conteúdo envolve sistema equivalente (operações elementares de linha) e existência de matrizes nilpotentes de posto não nulo.

Passo 2

Item (a): Se os sistemas AX=Y e BX=tilde Y têm mesmo conjunto solução, são equivalentes?
Verdadeiro. Duas equações lineares definem o mesmo conjunto solução sse suas matrizes aumentadas são relacionadas por operações elementares de linha, isto é, existe inversível P tal que
B=PA, tilde Y=PY,
logo transformamos um sistema no outro.

Passo 3

Item (b): Se A^2=0 e n>2, então A=0?
Falso. Contraexemplo em n=3:
A= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
pois Aneq0 e
A^2=0

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.

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