Questão 4: Considere o movimento r(t)=(x0+v0 x t) i+(y0+v0 y t-g t^2 / 2) j. Sabendo-se que este projétil passa pela origem do sistema de coordenadas após 10 segundos e que sua velocidade se anula neste instante, encontre a posição incial e a velocidade inicial (assumir g=10 m / s^2 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um projétil tem a posição
vec r(t)=l(x0+v0x,tr),hat i+l(y0+v0y,t-tfracg,t^22r),hat j
e que, aos 10 s, ele volta à origem e sua velocidade fica zero. O conteúdo é cinemática vetorial (movimento com aceleração constante) e vamos precisar:
  1. usar as equações paramétricas de posição;
  2. derivar para achar a velocidade;
  3. aplicar as condições em t=10 s;
  4. resolver para x0,y0,v0x,v0y.

Passo 2

Primeiro, a condição “passa pela origem aos 10 s” significa
vec r(10)=0 Longrightarrow x0+v0xcdot10 = 0,[6pt] y0+v0ycdot10 - tfracg,(10)^22 = 0
Substituindo g=10, fica
x0 + 10,v0x = 0, y0 + 10,v0y - 5cdot100 = 0 ;Longrightarrow; y0 + 10,v0y - 500 = 0
]

Passo 3

Agora a velocidade: [\vec v(t)=\dfrac{d\vec r}{dt}
= v_{0x},\hat i + \bigl(v_{0y}-g,t\bigr),\hat j).
“A velocidade se anula em 10 s” dá
Com (g=10], vem

Passo 4

Volta lá nas equações de posição:
  1. de x0+10,v0x=0 e v0x=0 sai
x0+10cdot0=0 ;Longrightarrow; x0=0
  1. de y0+10,v0y-500=0 e v0y=100 sai
y0+10cdot100-500=0 ;Longrightarrow; y0+1000-500=0 ;Longrightarrow; y0=-500 m

Resposta

Posição inicial: x0=0, y0=-500 (m)
Velocidade inicial: v0x=0, v0y=100 (m/s)

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