Questão 2: Considere o movimento tridimensional dado pelo seguinte “filme”:
r(t)=A[cos (omega t) i+sen(omega t) j]+(1+2 t-t^2 / 2) k
onde A e omega são constantes. Podemos concluir que o módulo da aceleração no tempo t=10 s é:

Passo 1

Resumo da questão: temos um movimento 3D com\r
vec r(t)=Al[cos(omega t),hatimath+sin(omega t),jmathr]+l(1+2t-tfract^22r)hat k,
\r
onde A e omega são constantes. Pede-se o módulo da aceleração em t=10 s. \r
Conteúdo: cinemática vetorial (derivadas de funções trigonométricas e polinomiais, módulo de vetor). \r
O que vamos precisar: aplicar derivada em cada componente (regra da soma e regra da cadeia) para achar vec v(t) e vec a(t), depois calcular |vec a|.

Passo 2

Calcular a velocidade vec v(t)=dotvec r(t). A gente deriva componente a componente:\r
  • x(t)=Acos(omega t);⇒; vx=ddt[Acos(omega t)]=-Aomegasin(omega t) (regra da cadeia).\r
  • y(t)=Asin(omega t);⇒; vy=ddt[Asin(omega t)]=Aomegacos(omega t).\r
  • z(t)=1+2t-tfract^22;⇒; vz=ddt[1+2t-tfract^22]=2-t (derivada de t^2/2 é t).\r
    \r
    Logo\r
vec v(t)=-Aomegasin(omega t),hatimath ;+;Aomegacos(omega t),jmath ;+;(2-t),hat k

Passo 3

Agora a aceleração vec a(t)=dotvec v(t):\r
  • vx=-Aomegasin(omega t);⇒; ax=ddt[-Aomegasin(omega t)]=-Aomega^2cos(omega t).\r
  • vy= Aomegacos(omega t);⇒; ay=ddt[Aomegacos(omega t)]=-Aomega^2sin(omega t).\r
  • vz=2-t;⇒; az=ddt[2-t]=-1.\r
    \r
    Portanto\r
vec a(t)=-Aomega^2l[cos(omega t),hatimath+sin(omega t),jmathr];-,hat k

Passo 4

Calcular o módulo |vec a(t)|. Lembra que |,(ax,ay,az)|!=!raizax^2+ay^2+az^2:\r
|vec a(t)| =raizl(-Aomega^2cos(omega t)r)^2 +l(-Aomega^2sin(omega t)r)^2 +(-1)^2 =raizA^2omega^4l[cos^2(omega t)+sin^2(omega t)r]+1 =raizA^2omega^4+1

Passo 5

Repara que |vec a(t)| não depende de t. Então, em t=10 s vale o mesmo:\r
|vec a(10)|=raizA^2omega^4+1

Resposta

|vec a(10)|=raizA^2omega^4+1

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