Questão 3 (2,5): Considere o operador linear
definido por:
O operador linear
é diagonalizävel? Justifque. Em caso afirmativo, determine a base que diagonaliza
e a forma diagonal de
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
por
e pede para verificar se
é diagonalizável. Para isso, vamos:
- Encontrar a matriz de
na base canônica. - Determinar os autovalores (polinômio característico).
- Calcular as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas.
- Concluir diagonalizabilidade e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a forma diagonal.
Passo 2
Matriz de
na base canônica
:
Logo
O polinômio característico é
Expansão interna:
Logo
Passo 3
Os autovalores são
Passo 4
Eigenspaço para
lambda=1 : resolvemos
(A-I)v=0 ,
Assim
que tem dimensão geométrica
2 .
Autovetores escolhidos:
Passo 5
Eigenspaço para
lambda=3 : resolvemos
(A-3I)v=0 ,
Logo
dimensão geométrica
1 . Autovetor:
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica,
T é diagonalizável. A base de autovetores
diagonaliza
T . Na base
B , a forma matricial é
Resposta
Uma base de autovetores que diagonaliza
e a matriz diagonal correspondente é