Questão 3 (2,5): Considere o operador linear T: R^prime R^prime definido por:
T(x, y, z)=(x, 2 x-3 y+2 z, 6 x-12 y+7 z)
O operador linear T é diagonalizävel? Justifque. Em caso afirmativo, determine a base que diagonaliza T e a forma diagonal de T.

Passo 1

O enunciado define um operador linear Tcolon R^3to R^3 por
T(x,y,z) = l(x,;2x-3y+2z,;6x-12y+7zr),
e pede para verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos:
  1. Encontrar a matriz de T na base canônica.
  2. Determinar os autovalores (polinômio característico).
  3. Calcular as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas.
  4. Concluir diagonalizabilidade e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a forma diagonal.

Passo 2

Matriz de T na base canônica e1,e2,e3:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,2,6), T(e2)=T(0,1,0)=(0,-3,-12), T(e3)=T(0,0,1)=(0,2,7)
Logo
A = [T]can = 1 & 0 & 0 2 & -3 & 2 6 & -12 & 7
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = (1-lambda)det-3-lambda & 2-12 & 7-lambda =(1-lambda)l[( -3-lambda)(7-lambda)+24r]
Expansão interna:
(-3-lambda)(7-lambda)+24 =l(lambda^2-4lambda-21r)+24 =lambda^2-4lambda+3 =(lambda-1)(lambda-3)
Logo
chiA(lambda) =(1-lambda)(lambda-1)(lambda-3) =-(lambda-1)^2(lambda-3)

Passo 3

Os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = 3(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Eigenspaço para lambda=1: resolvemos (A-I)v=0,
A-I = 0 & 0 & 0 2 & -4 & 2 6 & -12 & 6 longrightarrow 2x-4y+2z=0;Long<=ftrightarrow;x=2y-z
Assim
E1 = (x,y,z):x=2y-z =l(2y-z,;y,;z)r,
que tem dimensão geométrica 2.
Autovetores escolhidos:
v1 = (2,1,0), v2 = (-1,0,1)

Passo 5

Eigenspaço para lambda=3: resolvemos (A-3I)v=0,
A-3I = -2 & 0 & 0 2 & -6 & 2 6 & -12 & 4 longrightarrow -2x=0,;-6y+2z=0;Longrightarrow;x=0,;z=3y
Logo
E3 = (0,y,3y)=span(0,1,3),
dimensão geométrica 1. Autovetor:
v3 = (0,1,3)

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, T é diagonalizável. A base de autovetores
B = ,v1=(2,1,0),;v2=(-1,0,1),;v3=(0,1,3)
diagonaliza T. Na base B, a forma matricial é
[D] B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

T é diagonalizável.
Uma base de autovetores que diagonaliza T é
(2,1,0),;(-1,0,1),;(0,1,3),
e a matriz diagonal correspondente é
diag(1,1,3)

Exercícios relacionados