Sejam
e
dois conjuntos finitos.
Mostre que
é finito.
Mostre que
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a interseção de dois conjuntos finitos,
, também é finita. Aqui, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com propriedades de conjuntos finitos e suas operações. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito e como funciona a interseção entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto
é finito porque tem 3 elementos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na interseção de dois conjuntos,
e
. A interseção, representada por
, é o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em
quanto em
. Por exemplo, se
e
, então
.
Passo 4
Como
e
são conjuntos finitos, vamos supor que
tem
elementos e
tem
elementos, onde
e
são números naturais (inteiros positivos).
Passo 5
A interseção
só pode ter no máximo o menor número de elementos entre
e
. Ou seja,
. Isso porque a interseção não pode ter mais elementos do que o menor dos dois conjuntos.
Passo 6
Como
é um número finito (já que tanto
quanto
são finitos), isso significa que
também tem um número finito de elementos.
Passo 7
Portanto, mostramos que a interseção de dois conjuntos finitos
e
resulta em um conjunto
que também é finito.
Resposta
A interseção
é finita.