Sejam X e Y dois conjuntos finitos.
Mostre que X cap Y é finito.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a interseção de dois conjuntos finitos, X cap Y , também é finita. Aqui, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com propriedades de conjuntos finitos e suas operações. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito e como funciona a interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto A = 1, 2, 3 é finito porque tem 3 elementos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na interseção de dois conjuntos, X e Y . A interseção, representada por X cap Y , é o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em X quanto em Y . Por exemplo, se X = 1, 2, 3 e Y = 2, 3, 4 , então X cap Y = 2, 3 .

Passo 4

Como X e Y são conjuntos finitos, vamos supor que X tem n elementos e Y tem m elementos, onde n e m são números naturais (inteiros positivos).

Passo 5

A interseção X cap Y só pode ter no máximo o menor número de elementos entre X e Y . Ou seja, |X cap Y| <= min(n, m) . Isso porque a interseção não pode ter mais elementos do que o menor dos dois conjuntos.

Passo 6

Como min(n, m) é um número finito (já que tanto n quanto m são finitos), isso significa que X cap Y também tem um número finito de elementos.

Passo 7

Portanto, mostramos que a interseção de dois conjuntos finitos X e Y resulta em um conjunto X cap Y que também é finito.

Resposta

A interseção X cap Y é finita.

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