Verifique se o operador linear definido por T: R^4 R^4 definido por T(x, y, z)= (3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z) é diagonalizável, tentando encontrar uma base de autovetores.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^3to R^3 (apesar de mencionar R^4, vemos que T age em vetores (x,y,z) de três componentes) definido por
T(x,y,z) = (,3x - 3y - 4z,;3y + 5z,;-z)
Queremos verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe base de R^3 formada por autovetores de T. Para isso faremos:
  1. montar a matriz de T na base canônica;
  2. calcular o polinômio característico e os autovalores;
  3. determinar as dimensões dos espaços próprios (autovetores) e comparar com as multiplicidades algébricas.

Passo 2

Na base canônica , a matriz de é triangular superior, pois

Passo 3

Como a matriz é triangular, seu polinômio característico é o produto das entradas da diagonal menos lambda:
p(lambda) = (3-lambda)(3-lambda)(-1-lambda) = (3-lambda)^2(-1-lambda)
Logo os autovalores são lambda=3 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0. A matriz A-3I é
0 & -3 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4
As equações são
-3y -4z = 0, 5z=0, -4z=0
Dessas tiramos z=0 e então y=0, de modo que x fica livre. O espaço próprio de lambda=3 é
E3 = (x,0,0)colon xin R,
que tem dimensão geométrica 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0. A matriz A+I é
4 & -3 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0
As equações são
4x -3y -4z =0, 4y +5z =0
Da segunda vem y = -tfrac54 z. Substituindo na primeira:
4x -3l(-tfrac54 zr)-4z =0 ;Longrightarrow; 4x +tfrac154z -4z=0 ;Longrightarrow; 16x - z=0 ;Longrightarrow; x = tfrac116z
Logo um gerador de E-1 é, por exemplo, v=(-1)=(1,-tfrac54,1) (escolhendo z=1). O espaço próprio de lambda=-1 tem dimensão geométrica 1, igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 6

Somando as dimensões geométricas: dim E3 + dim E-1 =1+1=2, que é menor que dim R^3=3. Portanto não há base formada por autovetores e T não é diagonalizável.

Resposta

O operador T não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 mas apenas dimensão geométrica 1.

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