Verifique se o operador linear definido por
definido por
é diagonalizável, tentando encontrar uma base de autovetores.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
(apesar de mencionar
, vemos que
age em vetores
de três componentes) definido por
Queremos verificar se
é diagonalizável, ou seja, se existe base de
formada por autovetores de
. Para isso faremos:
- montar a matriz de
na base canônica; - calcular o polinômio característico e os autovalores;
- determinar as dimensões dos espaços próprios (autovetores) e comparar com as multiplicidades algébricas.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é triangular superior, pois
Passo 3
Como a matriz é triangular, seu polinômio característico é o produto das entradas da diagonal menos
:
Logo os autovalores são
com multiplicidade algébrica
e
com multiplicidade algébrica
.
Passo 4
Para
resolvemos
. A matriz
é
As equações são
Dessas tiramos
z=0 e então
y=0 , de modo que
x fica livre. O espaço próprio de
lambda=3 é
que tem dimensão geométrica
1 , embora a multiplicidade algébrica seja
2 .
Passo 5
Para
lambda=-1 resolvemos
(A+I)v=0 . A matriz
A+I é
As equações são
Da segunda vem
y = -tfrac54 z . Substituindo na primeira:
Logo um gerador de
E-1 é, por exemplo,
v=(-1)=(1,-tfrac54,1) (escolhendo
z=1 ). O espaço próprio de
lambda=-1 tem dimensão geométrica
1 , igual à sua multiplicidade algébrica.
Passo 6
Somando as dimensões geométricas:
dim E3 + dim E-1 =1+1=2 , que é menor que
dim R^3=3 . Portanto não há base formada por autovetores e
T não é diagonalizável.
Resposta
O operador
T não é diagonalizável, pois o autovalor
lambda=3 tem multiplicidade algébrica
2 mas apenas dimensão geométrica
1 .