Sejam \langle u, v\rangle o produto interno euclidiano em R^{3} \mathrm{e} u=(1,1,-1), v=(3,2,0), w= (0,-1,0) e k=3. Calcule as expressões dadas.
e) d(u, v)

Passo 1

O enunciado dá o produto interno euclidiano em \mathbb{R}^3 e os vetores \,u=(1,1,-1) e \,v=(3,2,0). Pede-se a distância \,d(u,v). Lembrando que
d(u,v)=\|u-v\|
e que a norma de um vetor x é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.

Passo 2

Calcular o vetor diferença
u-v = (1,1,-1) - (3,2,0) = (-2,-1,-1).

Passo 3

Calcular o produto interno de u-v por ele mesmo:
\langle u-v,\,u-v\rangle = (-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6.

Passo 4

Obter a distância usando a definição de norma:
d(u,v) = \|u-v\| = \sqrt{\langle u-v,\,u-v\rangle} = \sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

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