Questão 1. Identifique as superfícies dadas pelas parametrizações abaixo, onde
((u, v) \in \mathbb{R}^{2}) e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
\vec{r}(u, v)=\left(\cos v, \operatorname{sen} v, e^{u}\right). Resposta: cilindro x^{2}+y^{2}=1, z>0;

Passo 1

O enunciado nos dá uma parametrização
\vec r(u,v) = (x,y,z) = \bigl(\cos v,\;\sin v,\;e^{u}\bigr),
com u\in\mathbb R e 0\le v\le2\pi.
O conteúdo aqui é identificação de superfície a partir de parâmetros, ou seja, eliminar u e v para obter a equação em x,y,z.

Passo 2

Das duas primeiras componentes temos
x = \cos v,\quad y = \sin v.
Como \cos^2v + \sin^2v = 1, segue-se que
x^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Da terceira componente vem
z = e^{u}.
Como e^{u}>0 para todo u\in\mathbb R, deduzimos que
z>0.

Passo 4

Juntando as duas condições, os pontos (x,y,z) satisfazem
x^2 + y^2 = 1 \quad\text{e}\quad z>0.
Isto é exatamente a superfície de um cilindro circular reto de raio 1, sem topo nem base, estendendo-se ao longo de z para valores positivos.

Resposta

Cilindro de equação x^2 + y^2 = 1 com z>0.

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