Questão 5. Parametrize e esboce as curvas coordenadas:
o cilindro circular
.
Resposta:
;
o cilindro circular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o cilindro
Perguntas explícitas:
- Parametrizar a superfície
(ou seja, encontrar uma aplicação de um domínio em que gere todos os pontos de ). - Esboçar e identificar as curvas coordenadas dessa parametrização (as curvas obtidas fixando um parâmetro por vez).
Informações dadas:
- A equação
indica que, para cada valor de , a interseção com o plano constante é um círculo de raio centrado na origem do plano . - Não há restrição sobre
: varia em .
Passo 2
Escolha natural de parâmetros. Vou usar dois parâmetros:
para descrever a posição ao longo do círculo unitário no plano
e
para a altura. A parametrização típica do círculo unitário no plano é dada por cosseno e seno porque satisfazem a identidade pitagórica. Defino então a aplicação
Explicando por que:
e
percorrem todos os pontos do círculo unitário quando
varia em um intervalo de comprimento
.
Passo 3
Escolha do domínio dos parâmetros. Para cobrir cada ponto do círculo pelo menos uma vez tomo
Observações sobre os extremos:
e
representam o mesmo ponto no círculo (a parametrização é periódica em
), por isso às vezes preferimos
para evitar repetição, mas ambos funcionam para descrever
.
Passo 4
Verificação de que
realmente parametriza
. Para
temos
pela identidade trigonométrica. Assim toda imagem de
pertence a
. Reciprocamente, dado qualquer
com
, existe um ângulo
tal que
e
(não é único: pode-se somar múltiplos de
). Portanto
atinge todo
.
Passo 5
O que são as curvas coordenadas nessa parametrização. Curvas coordenadas são as curvas que deixamos ao variar apenas um parâmetro e fixar o outro.
- Fixando
e variando obtemos a curva
Isto é uma reta vertical paralela ao eixo
, passando pelo ponto
no plano
. Em palavras: para cada ângulo
há uma geratriz vertical do cilindro.
- Fixando
e variando obtemos a curva
Isto é o círculo de raio
no plano
. Ou seja, as seções horizontais do cilindro são círculos.
Passo 6
Intuição geométrica e orientação das curvas. Conforme
cresce, o ponto
percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto do eixo
(isto vem do sinal do vetor tangente abaixo). Exemplos simples:
Os vetores tangentes às curvas coordenadas ajudam a visualizar:
é tangente ao círculo (horizontal), e
é tangente à geratriz vertical (para cima). Esses vetores são claramente linearmente independentes, mostrando que a parametrização é regular.
Passo 7
Instruções rápidas para esboçar (passo-a-passo prático):
- Desenhe o eixo
vertical e os eixos no plano horizontal. - Desenhe um círculo de raio
no plano . - “Extruda” esse círculo ao longo do eixo
(desenhe linhas verticais passando por pontos do círculo) — isso cria o cilindro. - Marque uma curva horizontal (círculo) em algum
para representar . - Marque uma linha vertical em algum ângulo
para representar .
Dica: indique a orientação das circunferências com uma seta seguindo o aumento de.
Passo 8
Resumo didático final: a parametrização escolhida é simples, intuitiva e padrão para cilindros circulares. Ela torna evidente as curvas coordenadas (geratrizes verticais e círculos horizontais) e é fácil de manipular em contas (derivadas parciais, normais, áreas, etc.). Força mental: sempre que vir
, pense em
para o plano e trate
como parâmetro extra quando a superfície é um cilindro.