Questão 5. Parametrize e esboce as curvas coordenadas:
o cilindro circular S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}=1\right\}.
Resposta: (\cos \theta, \operatorname{sen} \theta, z),(\theta, z) \in[0,2 \pi] \times \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o cilindro
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2=1\}.
Perguntas explícitas:
  • Parametrizar a superfície S (ou seja, encontrar uma aplicação de um domínio em \mathbb{R}^2 que gere todos os pontos de S).
  • Esboçar e identificar as curvas coordenadas dessa parametrização (as curvas obtidas fixando um parâmetro por vez).
Informações dadas:
  • A equação x^2+y^2=1 indica que, para cada valor de z, a interseção com o plano z=constante é um círculo de raio 1 centrado na origem do plano xy.
  • Não há restrição sobre z: z varia em \mathbb{R}.

Passo 2

Escolha natural de parâmetros. Vou usar dois parâmetros: \theta para descrever a posição ao longo do círculo unitário no plano xy e z para a altura. A parametrização típica do círculo unitário no plano é dada por cosseno e seno porque satisfazem a identidade pitagórica. Defino então a aplicação
\Phi(\theta,z) = (\cos\theta,\sin\theta,z).
Explicando por que: \cos\theta e \sin\theta percorrem todos os pontos do círculo unitário quando \theta varia em um intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 3

Escolha do domínio dos parâmetros. Para cobrir cada ponto do círculo pelo menos uma vez tomo
\theta\in[0,2\pi],\qquad z\in\mathbb{R}.
Observações sobre os extremos: \theta=0 e \theta=2\pi representam o mesmo ponto no círculo (a parametrização é periódica em \theta), por isso às vezes preferimos [0,2\pi) para evitar repetição, mas ambos funcionam para descrever S.

Passo 4

Verificação de que \Phi realmente parametriza S. Para (x,y,z)=\Phi(\theta,z) temos
x^2+y^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1,
pela identidade trigonométrica. Assim toda imagem de \Phi pertence a S. Reciprocamente, dado qualquer (x,y,z)\in S com x^2+y^2=1, existe um ângulo \theta tal que x=\cos\theta e y=\sin\theta (não é único: pode-se somar múltiplos de 2\pi). Portanto \Phi atinge todo S.

Passo 5

O que são as curvas coordenadas nessa parametrização. Curvas coordenadas são as curvas que deixamos ao variar apenas um parâmetro e fixar o outro.
  • Fixando \theta=\theta_0 e variando z obtemos a curva
\gamma_{\theta_0}(z)=\Phi(\theta_0,z)=(\cos\theta_0,\sin\theta_0,z),\qquad z\in\mathbb{R}.
Isto é uma reta vertical paralela ao eixo z, passando pelo ponto (\cos\theta_0,\sin\theta_0,0) no plano z=0. Em palavras: para cada ângulo \theta_0 há uma geratriz vertical do cilindro.
  • Fixando z=z_0 e variando \theta obtemos a curva
\beta_{z_0}(\theta)=\Phi(\theta,z_0)=(\cos\theta,\sin\theta,z_0),\qquad \theta\in[0,2\pi].
Isto é o círculo de raio 1 no plano z=z_0. Ou seja, as seções horizontais do cilindro são círculos.

Passo 6

Intuição geométrica e orientação das curvas. Conforme \theta cresce, o ponto (\cos\theta,\sin\theta) percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto do eixo +z (isto vem do sinal do vetor tangente abaixo). Exemplos simples:
\Phi(0,z)=(1,0,z),\quad \Phi\!\left(\tfrac{\pi}{2},z\right)=(0,1,z),\quad \Phi(\pi,z)=(-1,0,z).
Os vetores tangentes às curvas coordenadas ajudam a visualizar:
\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta,0)
é tangente ao círculo (horizontal), e
\frac{\partial\Phi}{\partial z}=(0,0,1)
é tangente à geratriz vertical (para cima). Esses vetores são claramente linearmente independentes, mostrando que a parametrização é regular.

Passo 7

Instruções rápidas para esboçar (passo-a-passo prático):
  1. Desenhe o eixo z vertical e os eixos x,y no plano horizontal.
  2. Desenhe um círculo de raio 1 no plano z=0.
  3. “Extruda” esse círculo ao longo do eixo z (desenhe linhas verticais passando por pontos do círculo) — isso cria o cilindro.
  4. Marque uma curva horizontal (círculo) em algum z=z_0 para representar \beta_{z_0}.
  5. Marque uma linha vertical em algum ângulo \theta=\theta_0 para representar \gamma_{\theta_0}.
    Dica: indique a orientação das circunferências com uma seta seguindo o aumento de \theta.

Passo 8

Resumo didático final: a parametrização escolhida é simples, intuitiva e padrão para cilindros circulares. Ela torna evidente as curvas coordenadas (geratrizes verticais e círculos horizontais) e é fácil de manipular em contas (derivadas parciais, normais, áreas, etc.). Força mental: sempre que vir x^2+y^2=1, pense em (\cos\theta,\sin\theta) para o plano e trate z como parâmetro extra quando a superfície é um cilindro.

Resposta

(\cos\theta,\sin\theta,z),\\ (\theta,z)\in[0,2\pi]\times\mathbb{R}

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