Questão 1
Considere uma partícula livre de massa
, confinada na região
.
(a) Construa o gráfico da região do espaço de fase acessível à partícula se a energia da mesma se encontra no intervalo entre
e
.
(b) Estabeleça uma expressão para o número de microestados acessíveis ao sistema.
(c) Demonstre que a probabilidade de localizar a partícula entre as posições
e
é inversamente proporcional a
.
(a) Construa o gráfico da região do espaço de fase acessível à partícula se a energia da mesma se encontra no intervalo entre
(b) Estabeleça uma expressão para o número de microestados acessíveis ao sistema.
(c) Demonstre que a probabilidade de localizar a partícula entre as posições
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula clássica de massa
confinada em
e cuja energia
está no intervalo
.
Conteúdo: espaço de fase em 1D, densidade de microestados clássica e distribuição microcanônica.
Vamos (a) desenhar a região acessível em , (b) calcular o número de microestados
dividindo o volume de fase por
, e (c) mostrar que a distribuição em
é uniforme.
Conteúdo: espaço de fase em 1D, densidade de microestados clássica e distribuição microcanônica.
Vamos (a) desenhar a região acessível em
Passo 2
Para representar graficamente a região acessível note que
e semelhantemente para
. No plano
:
– o eixo horizontal vai de a
.
– o eixo vertical mostra .
– a região entre as curvas e
é a banda onde
.
– o eixo horizontal vai de
– o eixo vertical mostra
– a região entre as curvas
Passo 3
O volume de fase acessível é
Passo 4
O número de microestados clássicos em
é esse volume dividido por
:
Para
faz-se a aproximação de Taylor
de modo que
Passo 5
Na distribuição microcanônica todos os pontos de fase têm peso igual. A probabilidade de encontrar
em
é a fração do volume de fase com essa faixa de
sobre o volume total. Mantendo
fixo, a integral em
não depende de
, logo
Ou seja,
é constante e
, mostrando a uniformidade.
Resposta
(a) No plano
é a banda entre as curvas
e
para
.
(b) .
(c) , uniformemente em
.
(b)
(c)