Questão 1

Considere uma partícula livre de massa m, confinada na região 0 \leq x \leq L.
(a) Construa o gráfico da região do espaço de fase acessível à partícula se a energia da mesma se encontra no intervalo entre E e E+\Delta E.
(b) Estabeleça uma expressão para o número de microestados acessíveis ao sistema.
(c) Demonstre que a probabilidade de localizar a partícula entre as posições x e x+\Delta x é inversamente proporcional a L.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula clássica de massa m confinada em 0\le x\le L e cuja energia \mathcal{E}=p^2/(2m) está no intervalo [E,E+\Delta E].
Conteúdo: espaço de fase em 1D, densidade de microestados clássica e distribuição microcanônica.
Vamos (a) desenhar a região acessível em (x,p), (b) calcular o número de microestados \Omega(E,\Delta E) dividindo o volume de fase por h, e (c) mostrar que a distribuição em x é uniforme.

Passo 2

Para representar graficamente a região acessível note que
\frac{p^2}{2m}=E \quad\Longrightarrow\quad p=\pm\sqrt{2mE},
e semelhantemente para E+\Delta E. No plano (x,p):
– o eixo horizontal vai de x=0 a x=L.
– o eixo vertical mostra p.
– a região entre as curvas p=\pm\sqrt{2mE} e p=\pm\sqrt{2m(E+\Delta E)} é a banda onde E\le p^2/(2m)\le E+\Delta E.

Passo 3

O volume de fase acessível é
\int_{x=0}^{L}\!\!\int_{p^2/(2m)\in[E,E+\Delta E]}dp\,dx = L\int_{p^2/(2m)\in[E,E+\Delta E]}dp =2L\bigl[\sqrt{2m(E+\Delta E)}-\sqrt{2mE}\bigr].

Passo 4

O número de microestados clássicos em [E,E+\Delta E] é esse volume dividido por h:
\Omega(E,\Delta E) =\frac{1}{h}\,2L\Bigl[\sqrt{2m(E+\Delta E)}-\sqrt{2mE}\Bigr].
Para \Delta E\ll E faz-se a aproximação de Taylor
\sqrt{E+\Delta E}-\sqrt{E}\approx\frac{\Delta E}{2\sqrt{E}},
de modo que
\Omega(E,\Delta E)\approx\frac{2L}{h}\,\sqrt{2m}\,\frac{\Delta E}{2\sqrt{E}} =\frac{L}{h}\,\frac{m}{\sqrt{2mE}}\,\Delta E =\frac{L}{h}\,\frac{m}{p}\,\Delta E.

Passo 5

Na distribuição microcanônica todos os pontos de fase têm peso igual. A probabilidade de encontrar x em [x,x+\Delta x] é a fração do volume de fase com essa faixa de x sobre o volume total. Mantendo E fixo, a integral em p não depende de x, logo
P(x\to x+\Delta x) =\frac{\Delta x\cdot\bigl[\text{mesma integral em }p\bigr]}{L\cdot\bigl[\text{mesma integral em }p\bigr]} =\frac{\Delta x}{L}.
Ou seja, P(x) é constante e P(x\in[x,x+\Delta x])=\Delta x/L, mostrando a uniformidade.

Resposta

(a) No plano (x,p) é a banda entre as curvas p=\pm\sqrt{2mE} e p=\pm\sqrt{2m(E+\Delta E)} para 0\le x\le L.
(b) \displaystyle \Omega(E,\Delta E)=\tfrac{2L}{h}\bigl[\sqrt{2m(E+\Delta E)}-\sqrt{2mE}\bigr].
(c) \displaystyle P(x\in[x,x+\Delta x])=\Delta x/L, uniformemente em x.

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