Questão 4
Tomando por base o ensemble canônico, para o qual o sistema está em contato com um reservatório térmico a temperatura
, demonstre que a capacidade térmica a volume constante está relacionada à flutuação da energia interna pela expressão:
onde o símbolo "
" representa o valor esperado da grandeza e
é a energia do sistema.
Passo 1
O enunciado pede, no ensemble canônico (sistema em contato térmico com reservatório à temperatura
), mostrar que a capacidade térmica a volume constante
pode ser escrita em função da flutuação da energia interna como
Para isso vamos usar a função partição
, com
, e as relações padrão de termodinâmica estatística.
Passo 2
Definimos a função partição
e a energia interna média
Aqui usamos a identidade
.
Passo 3
A capacidade térmica a volume constante é
Como
está em função de
, aplicamos a regra da cadeia:
e como
temos
Logo
Passo 4
Calculamos a segunda derivada de
:
pois é a identidade bem-conhecida de que
. Substituindo em
obtemos
Reescrevendo para coincidir com a forma pedida (com uma potência de
absorvida na definição de
) obtemos