Questão 3

O número de microestados para um sistema para um sistema de N partículas distribuídas em V células \operatorname{com} N<V é dado por,
\Omega(N, V)=\frac{V!}{N!(V-N)!}
(a) Encontre uma expressão para a entropia molar.
(b) Obtenha a equação de estado P / T.

Passo 1

O enunciado dá o número de microestados
\Omega(N,V)=\frac{V!}{N!\,(V-N)!},
onde N<V. Pede (a) a entropia molar e (b) a equação de estado P/T.
O conteúdo é a entropia no formalismo microcanônico
S = k_B\ln\Omega
e a relação termodinâmica
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{N,E}=\frac{P}{T}.

Passo 2

Escrevemos
S = k_B\ln\frac{V!}{N!\,(V-N)!}
e aplicamos a fórmula de Stirling \ln n!\approx n\ln n - n para V, N e V-N. Assim
\ln\Omega \approx \bigl[V\ln V - V\bigr] - \bigl[N\ln N - N\bigr] - \bigl[(V-N)\ln(V-N) - (V-N)\bigr].
Cancelam-se os termos lineares, sobrando
\ln\Omega = V\ln V - N\ln N - (V-N)\ln(V-N).
Logo
S = k_B\bigl[V\ln V - N\ln N - (V-N)\ln(V-N)\bigr].

Passo 3

Para entropia molar definimos n=N/N_A. Então
S_m = \frac{S}{n} = \frac{N_A}{N}\,S.
Substituindo S e escrevendo a fração de ocupação \varphi = N/V, obtemos
S_m = \frac{N_A k_B}{N}\Bigl[V\ln V - N\ln N - (V-N)\ln(V-N)\Bigr] = R\bigl[-\ln\varphi \;-\;\frac{1-\varphi}{\varphi}\ln(1-\varphi)\bigr],
pois R=N_A k_B e V/N=1/\varphi.
Em termos de N e V, fica
\boxed{ S_m = -R\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{N}{V}\bigr)\;+\;\frac{V-N}{N}\,\ln\!\bigl(1-\tfrac{N}{V}\bigr)\Bigr]. }

Passo 4

Usamos a relação
\frac{P}{T} = \Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{N,E}.
A partir de
S = k_B\bigl[V\ln V - N\ln N - (V-N)\ln(V-N)\bigr]
e derivando em V (com N fixo) obtemos
\frac{\partial S}{\partial V} = k_B\bigl[\ln V +1 -\ln(V-N)-1\bigr] = k_B\ln\!\frac{V}{\,V-N\,}.
Portanto
\boxed{ \frac{P}{T} = k_B\ln\!\bigl(\tfrac{V}{V-N}\bigr) = k_B\ln\!\frac{1}{1 - N/V}\,. }

Resposta

(a) S_m = -R\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{N}{V}\bigr)\;+\;\frac{V-N}{N}\,\ln\!\bigl(1-\tfrac{N}{V}\bigr)\Bigr].
(b) \frac{P}{T} = k_B\ln\!\frac{V}{V-N}\,.

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