Questão 1: Considere o ponto P=(1,-1,-2) e a reta r que é a interseção dos planos x=y e x-y+2 z=4.
(3,0) Encontre a equação geral do plano pi que contem r e P.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P=(1,-1,-2) e a reta r definida pela interseção dos planos
x=y
e
x - y + 2z = 4
O objetivo é achar a equação geral do plano pi que contém essa reta e o ponto P. Para isso, vamos:
  1. representar r de forma paramétrica,
  2. extrair um ponto A em r e o vetor diretor vec v de r,
  3. formar o vetor AP,
  4. calcular o normal vec n = vec vtimes AP,
  5. usar vec n e P para montar a equação geral de pi.

Passo 2

Para parametrizar r, de x=y temos x=t,;y=t. Substituindo em x - y + 2z=4
t - t + 2z = 4 ;Longrightarrow; z=2
Logo
r:;(x,y,z) = (t,t,2)
Tomamos então o ponto A=(0,0,2) (obtido com t=0) e o vetor diretor
vec v = (1,1,0)

Passo 3

Formamos o vetor que vai de A a P:
AP = P - A = (1,-1,-2) - (0,0,2) = (1,,-1,,-4)

Passo 4

O normal do plano pi é dado pelo produto vetorial
vec n = vec v times AP = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & -1 & -4 = (-4),i -(-4),j +(-2),k = (-4,,4,,-2)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
vec n = (2,,-2,,1)

Passo 5

Seja vec n=(a,b,c)=(2,-2,1). A equação geral do plano que contém P=(1,-1,-2) é
a(x-1) + bl(y+1r) + cl(z+2r) = 0,
isto é,
2(x-1) -2(y+1) +1(z+2) = 0 ;Longrightarrow; 2x - 2 -2y -2 + z + 2 = 0 ;Longrightarrow; 2x - 2y + z -2 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é
2x ;-; 2y ;+; z ;-; 2 ;=; 0

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