Sejam O A B C um tetraedro, e G o baricentro (encontro das três medianas de uma triângulo) da face A B C.
(1) Explique por que (O A, O B, O C) é uma base.
(2) Pesquise como escrevemos A G em função de A B e A C(F E I T O E M A U L A), e calcule as coordenadas de O G nesta base.

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro cujos vértices são O,A,B,C e define G como o baricentro do triângulo ABC. Os objetivos são:
  1. Mostrar que os vetores OA,OB,OC formam uma base de R^3.
  2. Usar a fórmula do baricentro de um triângulo para escrever AG em função de AB e AC e, a partir disso, calcular as coordenadas de OG na base (OA,OB,OC).

Passo 2

Para que l(OA,OB,OCr) seja uma base de R^3, precisamos mostrar que esses três vetores são linearmente independentes. Num tetraedro, os quatro pontos O,A,B,C não são coplanares, o que garante que não existe tripla (alpha,beta,gamma)neq(0,0,0) tal que
alpha,OA+beta,OB+gamma,OC=0
Logo, esses vetores formam um sistema linearmente independente em R^3 e, por terem exatamente três vetores em um espaço de dimensão 3, constituem uma base.

Passo 3

Num triângulo ABC, o baricentro G satisfaz
AG=13l(AB+ACr)
Esta fórmula pode ser lembrada pelo fato de que G é o ponto médio das medianas, dividindo cada uma na razão 2:1 contada do vértice.

Passo 4

Queremos OG em função da base l(OA,OB,OCr). Observe que
OG=OA+AG
e usando a expressão de AG do Passo 3, temos
OG =OA +13l(AB+ACr) =OA +13l(OB-OA+OC-OAr)
Agrupando termos,
OG =13l(OA+OB+OCr)

Resposta

l(OA,OB,OCr) é base de R^3 pois são três vetores linearmente independentes.
As coordenadas de OG nessa base são l(tfrac13,tfrac13,tfrac13r), isto é,
OG =13,OA +13,OB +13,OC

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