Questão 1: Considere os pontos A:(2,-5,2), B:(3,-7,3), C:(0,0,-3), D:(0,-1,0) e E:(1,0,-5). Faça os seguintes itens:
(a) Determine uma equação paramétrica para a reta r que passa por A e B.
(b) Determine uma equação simétrica para a reta r que passa por A e B.
(c) Determine uma equação geral para o plano \pi que passa pelos pontos C, D e E.
(d) Estude a posição relativa entre a reta r e o plano \pi.
(e) Determine interseção entre a reta r e o plano \pi.
(f) Determine o ângulo, em graus, entre a reta r e o plano $\pi.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) a equação paramétrica da reta r que passa por A(2,-5,2) e B(3,-7,3);
(b) a equação simétrica de r;
(c) a equação geral do plano \pi que passa por C(0,0,-3), D(0,-1,0) e E(1,0,-5);
(d) a posição relativa entre r e \pi;
(e) o ponto de interseção r\cap\pi;
(f) o ângulo entre r e \pi.
Vamos usar vetores diretor, produto vetorial para obter normal do plano, substituição para posição relativa e fórmulas de produto escalar para o ângulo.

Passo 2

Calcular o vetor diretor de r\): \(\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\,-7-(-5),\,3-2)=(1,-2,1)\). Logo, uma forma paramétrica de \(r\) é \[\begin{cases} x=2+t,\\\ y=-5-2t,\\\ z=2+t, \end{cases}
com parâmetro (t].

Passo 3

Da forma paramétrica obtemos a forma simétrica isolando t:
\frac{x-2}{1}=\frac{y+5}{-2}=\frac{z-2}{1}.

Passo 4

Para o plano \pi, tomamos \overrightarrow{CD}=D-C=(0,-1,3) e \overrightarrow{CE}=E-C=(1,0,-2).
O vetor normal é
n=\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CE}=(0,-1,3)\times(1,0,-2)=(2,3,1).
Usando o ponto C(0,0,-3), a equação geral de \pi é
2(x-0)+3(y-0)+1\,(z+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+3y+z+3=0.

Passo 5

Substituímos a reta na equação de \pi:
2(2+t)+3(-5-2t)+(2+t)+3=-6-3t.
Para que um ponto de r esteja em \pi precisamos de -6-3t=0, isto é t=-2.
Como existe exatamente uma solução, r e \pi se intersectam em um único ponto (são secantes).

Passo 6

No valor t=-2, o ponto de interseção é
x=2-2=0,\quad y=-5-2(-2)=-1,\quad z=2-2=0.
Logo r\cap\pi=\{(0,-1,0)\}.

Passo 7

O ângulo \alpha entre a reta r (vetor diretor v=(1,-2,1)) e o plano \pi (normal n=(2,3,1)) satisfaz
\sin\alpha =\frac{\lvert v\cdot n\rvert}{\|v\|\|n\|} =\frac{\lvert1\cdot2+(-2)\cdot3+1\cdot1\rvert}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}\,\sqrt{2^2+3^2+1^2}} =\frac{3}{\sqrt6\,\sqrt{14}} =\frac{3}{\sqrt{84}} \approx0,3273.
Portanto
\alpha=\arcsin(0,3273)\approx19{,}1^\circ.

Resposta

(a) \displaystyle x=2+t,\;y=-5-2t,\;z=2+t.
(b) \displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y+5}{-2}=\frac{z-2}{1}.
(c) \displaystyle 2x+3y+z+3=0.
(d) São secantes (intersectam em um só ponto).
(e) r\cap\pi=\{(0,-1,0)\}.
(f) \displaystyle \alpha\approx19{,}1^\circ.

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