Questão 1: Considere os pontos A:(2,-5,2), B:(3,-7,3), C:(0,0,-3), D:(0,-1,0) e E:(1,0,-5). Faça os seguintes itens:
(a) Determine uma equação paramétrica para a reta r que passa por A e B.
(b) Determine uma equação simétrica para a reta r que passa por A e B.
(c) Determine uma equação geral para o plano \pi que passa pelos pontos C, D e E.
(d) Estude a posição relativa entre a reta r e o plano \pi.
(e) Determine interseção entre a reta r e o plano \pi.
(f) Determine o ângulo, em graus, entre a reta r e o plano $\pi.
Passo 1
O enunciado pede:
(a) a equação paramétrica da reta r que passa por A(2,-5,2) e B(3,-7,3);
(b) a equação simétrica de r;
(c) a equação geral do plano \pi que passa por C(0,0,-3), D(0,-1,0) e E(1,0,-5);
(d) a posição relativa entre r e \pi;
(e) o ponto de interseção r\cap\pi;
(f) o ângulo entre r e \pi.
Vamos usar vetores diretor, produto vetorial para obter normal do plano, substituição para posição relativa e fórmulas de produto escalar para o ângulo.
Passo 2
Calcular o vetor diretor de r\):
\(\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\,-7-(-5),\,3-2)=(1,-2,1)\).
Logo, uma forma paramétrica de \(r\) é
\[\begin{cases} x=2+t,\\\ y=-5-2t,\\\ z=2+t, \end{cases}
com parâmetro (t].
Passo 3
Da forma paramétrica obtemos a forma simétrica isolando t:
\frac{x-2}{1}=\frac{y+5}{-2}=\frac{z-2}{1}.
Passo 4
Para o plano \pi, tomamos \overrightarrow{CD}=D-C=(0,-1,3) e \overrightarrow{CE}=E-C=(1,0,-2).
O vetor normal é
Para que um ponto de r esteja em \pi precisamos de -6-3t=0, isto é t=-2.
Como existe exatamente uma solução, r e \pi se intersectam em um único ponto (são secantes).
Passo 6
No valor t=-2, o ponto de interseção é
x=2-2=0,\quad y=-5-2(-2)=-1,\quad z=2-2=0.
Logo r\cap\pi=\{(0,-1,0)\}.
Passo 7
O ângulo \alpha entre a reta r (vetor diretor v=(1,-2,1)) e o plano \pi (normal n=(2,3,1)) satisfaz