Questão 4) Considere os pontos M_{1}(4,-2,6) e M_{2}(2,4,0) e as retas dadas pelas seguintes equações:
\begin{array}{ll} r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=1 \\\ z=-t \end{array}\right. & r_{3}:\left\{\begin{array}{l} y=x-1 \\\ z=x-3 \end{array}\right. \\\ r_{2}: \frac{5 x-8}{2}=\frac{2 y}{2}=\frac{-z+4}{4} & r_{4}: \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-1}, z=0 \end{array}
Determine:
a) As coordenadas do ponto P_{3}, sabendo que ele é o ponto médio entre M_{1} e M_{2}.
b) O ponto P_{1}, interseção das retas r_{1} e r_{2}.
c) O ponto P_{2}, interseção das retas r_{3} e r_{4}.
d) A equação reduzida em y da reta r_{5} que passa pelos pontos P_{1} e P_{2}.
e) A equação simétrica da reta r_{6} que é perpendicular e concorrente a r_{5} e passa pelo ponto P_{3}.
f) O ângulo entre a reta r_{6} e a reta que passa pelos pontos P_{1} e P_{3}. Expresse o resultado em arco cos.

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria analítica no espaço: dados os pontos M_{1}(4,-2,6) e M_{2}(2,4,0) e quatro retas r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}, pede-se
  • (a) P_{3} ponto médio de M_{1}M_{2},
  • (b) P_{1}=r_{1}\cap r_{2},
  • (c) P_{2}=r_{3}\cap r_{4},
  • (d) equação reduzida em y de r_{5} que passa por P_{1},P_{2},
  • (e) equação simétrica de r_{6} perpendicular a r_{5}, concorrente a ela e passando por P_{3},
  • (f) ângulo entre r_{6} e a reta P_{1}P_{3}.
    Para resolver vamos usar fórmula do ponto médio, solução de sistemas paramétricos e simétricos, projeção ortogonal e produto escalar.

Passo 2

Para o ponto médio P_{3} de M_{1}M_{2} usamos
P_{3} = \Bigl(\frac{x_{1}+x_{2}}2,\;\frac{y_{1}+y_{2}}2,\;\frac{z_{1}+z_{2}}2\Bigr)
Logo,
P_{3} = \Bigl(\frac{4+2}2,\;\frac{-2+4}2,\;\frac{6+0}2\Bigr) = (3,1,3).

Passo 3

Reta r_{1}: x=2+t,\;y=1,\;z=-t. Para r_{2} use parâmetro \lambda em
\frac{5x-8}{2} = \frac{2y}{2} = \frac{-z+4}{4} = \lambda
o que dá
x=\frac{2\lambda+8}5,\quad y=\lambda,\quad z=4-4\lambda.
Igualando a r_{1}:
1=\lambda,\quad 2+t=\frac{2\cdot1+8}5=2\implies t=0,\quad -t=4-4\cdot1=0.
Logo
P_{1} = (2,1,0).

Passo 4

Reta r_{3}: x=s,\;y=s-1,\;z=s-3.
Reta r_{4}: \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-1}=\mu,\;z=0 x=3+\mu,\;y=2-\mu,\;z=0.
Para interseção iguale z: s-3=0\implies s=3, então P_{2}=(3,2,0).

Passo 5

Direção de r_{5} é \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(1,1,0). Usando y como parâmetro, de P_{1}(2,1,0):
y \mapsto t=y-1,\quad x=2+t=2+(y-1)=y+1,\quad z=0.
A equação reduzida em y é
x = y + 1,\quad z = 0.

Passo 6

Para r_{6} ser perpendicular a r_{5} e passar por P_{3}(3,1,3), constrói-se a projeção ortogonal de P_{3} em r_{5}. O pé Q tem parâmetro
t_0 = \frac{\overrightarrow{P_{1}P_{3}}\cdot(1,1,0)}{\|(1,1,0)\|^2} = \frac{(1,0,3)\cdot(1,1,0)}{2} = \frac{1}{2},
logo
Q = P_{1} + \tfrac12(1,1,0) = \bigl(\tfrac52,\tfrac32,0\bigr).
Direção de r_{6} é \overrightarrow{P_{3}Q}=(-\tfrac12,\tfrac12,-3)\sim(1,-1,6). Assim a forma simétrica é
\frac{x-3}{1} \,=\;\frac{y-1}{-1}\;=\;\frac{z-3}{6}.

Passo 7

O ângulo entre r_{6} (vetor diretor (1,-1,6)) e a reta P_{1}P_{3} (vetor (1,0,3)) vem de
\cos\theta = \frac{(1,-1,6)\cdot(1,0,3)}{\sqrt{1+1+36}\;\sqrt{1+0+9}} = \frac{19}{\sqrt{38}\,\sqrt{10}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{19}{\sqrt{38}\,\sqrt{10}}\Bigr).

Resposta

a) P_{3}=(3,1,3)
b) P_{1}=(2,1,0)
c) P_{2}=(3,2,0)
d) r_{5}:\;x = y + 1,\;z = 0
e) r_{6}:\;\displaystyle\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-3}{6}
f) \displaystyle\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{19}{\sqrt{38}\,\sqrt{10}}\Bigr)

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