Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(3,1,3,1) e T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(-5,2,0,0), em que \mathbf{e}_{1}=(1,0) e \mathbf{e}_{2}=(0,1).
Passo 1
O enunciado pede a matriz canônica de uma transformação linear \displaystyle T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4}
sabendo que \,T(\mathbf e_{1})=(3,1,3,1)\ e\ \,T(\mathbf e_{2})=(-5,2,0,0),
onde \mathbf e_{1}=(1,0) e \mathbf e_{2}=(0,1).
O conteúdo é o conceito de matriz associada a uma transformação linear e vamos usar a definição de matriz canônica (ou matriz padrão).
Passo 2
Lembrete: se \,T\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m é linear, a sua matriz canônica A (em relação às bases canônicas) é a matriz m\times n cujas colunas são exatamente as imagens dos vetores da base de \mathbb R^n. Em outras palavras,
A = \bigl[\,T(\mathbf e_{1})\;\;T(\mathbf e_{2})\;\cdots\;T(\mathbf e_{n})\bigr].