Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(3,1,3,1) e T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(-5,2,0,0), em que \mathbf{e}_{1}=(1,0) e \mathbf{e}_{2}=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz canônica de uma transformação linear
\displaystyle T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4}
sabendo que
\,T(\mathbf e_{1})=(3,1,3,1)\ e\ \,T(\mathbf e_{2})=(-5,2,0,0),
onde \mathbf e_{1}=(1,0) e \mathbf e_{2}=(0,1).
O conteúdo é o conceito de matriz associada a uma transformação linear e vamos usar a definição de matriz canônica (ou matriz padrão).

Passo 2

Lembrete: se \,T\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m é linear, a sua matriz canônica A (em relação às bases canônicas) é a matriz m\times n cujas colunas são exatamente as imagens dos vetores da base de \mathbb R^n. Em outras palavras,
A = \bigl[\,T(\mathbf e_{1})\;\;T(\mathbf e_{2})\;\cdots\;T(\mathbf e_{n})\bigr].

Passo 3

No nosso caso, n=2 e m=4. Já temos
T(\mathbf e_{1}) = \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad T(\mathbf e_{2}) = \begin{pmatrix}-5\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo, a primeira coluna de A é \,(3,1,3,1)^{T} e a segunda coluna é \,(-5,2,0,0)^{T}.

Passo 4

Montando as colunas em uma matriz 4\times2, obtemos
A = \begin{pmatrix} 3 & -5\\\\ 1 & 2\\\\ 3 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A = \begin{pmatrix} 3 & -5\\\\ 1 & 2\\\\ 3 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

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