Suponha que T seja uma transformação linear. Encontre a matriz canônica de T.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} primeiro faz uma rotação de -3 \pi / 4 radianos e, depois, reflete os pontos em relação ao eixo dos \mathbf{x}_{1}. [Sugestão: T\left(\mathbf{e}_{1}\right)= (-1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}).]

Passo 1

O enunciado define T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 como a composição de duas transformações lineares: primeiro uma rotação de ângulo -3\pi/4 e depois uma reflexão em relação ao eixo x_1. Para obter a matriz canônica de T, vamos (i) escrever a matriz da rotação, (ii) escrever a matriz da reflexão e (iii) multiplicar as duas matrizes na ordem adequada.

Passo 2

A matriz de rotação de ângulo \theta=-3\pi/4 no plano padrão é
M_R = \begin{pmatrix} \cos(-3\pi/4) & -\sin(-3\pi/4)\\[6pt] \sin(-3\pi/4) & \cos(-3\pi/4) \end{pmatrix}.
Como \cos(-3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2} e \sin(-3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
M_R = \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2} & +\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

A reflexão em relação ao eixo x_1 (eixo horizontal) tem matriz no padrão
M_F = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A composição “primeiro rotaciona, depois reflete” corresponde ao produto M_F\,M_R. Calculando:
M_T = M_F\,M_R = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2}\\\\ -\tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt] +\tfrac{\sqrt2}{2} & +\tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz canônica de T é
\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2}\\[4pt] \tfrac{1}{\sqrt2} & \tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}.]

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