Verifique se as seguintes transformações são lineares.
T([lx y])=[lx+y x-y]

Passo 1

Então, galera! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar se uma transformação é linear. A transformação dada é T(cx y) = cx + y x - y . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação T é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v .
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u .
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Primeiro, vamos checar a aditividade. Seja u = cx1 y1 e v = cx2 y2 . Então:
u + v = cx1 + x2 y1 + y2
Aplicando a transformação T nessa soma:
T(u + v) = T(cx1 + x2 y1 + y2) = c(x1 + x2) + (y1 + y2) (x1 + x2) - (y1 + y2)
= c(x1 + y1) + (x2 + y2) (x1 - y1) + (x2 - y2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = cx1 + y1 x1 - y1, T(v) = cx2 + y2 x2 - y2
T(u) + T(v) = c(x1 + y1) + (x2 + y2) (x1 - y1) + (x2 - y2)
Compare isso com T(u + v) que calculamos antes. Viu? Eles são iguais! Então, a propriedade da aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja c um escalar e u = cx y . Então:
cu = ccx y = ccx cy
Aplicando a transformação T nesse vetor:
T(cu) = T(ccx cy) = ccx + cy cx - cy = ccx + y x - y = cT(u)
Então, T(cu) = cT(u) . A propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades da linearidade (aditividade e homogeneidade) são válidas para a transformação T , concluímos que a transformação é linear.

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