Questão 1. Considere os pontos A=(1,3,-1), B=(-3,2,1) e os vetores v=(0,1,2), w= (-1,0,3) e u=A B. Determine:
a) (w, v, u) cdot|w+v| ( 1,0 ponto)
b) |(-3 w times 2 v) times u| ( 1,5 ponto)
c) O ângulo formado entre u e w times v ( 1 , 0 ponto)

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(1,3,-1), B=(-3,2,1) e os vetores vec v=(0,1,2), vec w=(-1,0,3), definindo vec u=AB. Para resolver, vamos usar operações vetoriais em R^3: soma de vetores, cálculo de módulo, produto vetorial, produto misto (ou triplo escalar) e cálculo de ângulo entre vetores. Em particular,
vec u = B - A, |vec a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2, vec a times vec b, (vec a,vec b,vec c) = vec a cdot (vec b times vec c), costheta = vec a cdot vec b|vec a|,|vec b|

Passo 2

Calculamos vec u por
vec u = AB = B - A = (-3-1,,2-3,,1-(-1)) = (-4,,-1,,2)

Passo 3

Para a letra (a) precisamos de (vec w,vec v,vec u) e de |vec w+vec v|. Primeiro,
vec w + vec v = (-1+0,,0+1,,3+2) = (-1,1,5),
|vec w + vec v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 5^2 = raiz27 = 3raiz3
Em seguida,
vec w times vec v = i & j & k -1 & 0 & 3 0 & 1 & 2 = (-3,,2,,-1),
(vec w,vec v,vec u) = (vec wtimesvec v)cdotvec u = (-3,2,-1)cdot(-4,-1,2) =12 - 2 - 2 =8
Logo,
(vec w,vec v,vec u)cdot|vec w+vec v| =8cdot(3raiz3) =24raiz3

Passo 4

Na letra (b) calculamos
(-3vec w)times(2vec v) = (-3cdot2),(vec wtimesvec v) = -6,(-3,2,-1) = (18,-12,6)
Agora
(18,-12,6)times(-4,-1,2) = i & j & k 18 & -12 & 6 -4 & -1 & 2 = (-18,,-60,,-66),
l|(-18,-60,-66)r| = raiz(-18)^2+(-60)^2+(-66)^2 = raiz8280 =6raiz230

Passo 5

Para a letra (c) usamos
costheta = vec ucdot(vec wtimesvec v)|vec u|,|vec wtimesvec v|
Já temos vec ucdot(vec wtimesvec v)=8. Além disso,
|vec u| = raiz(-4)^2+(-1)^2+2^2 = raiz21, |vec wtimesvec v| = raiz(-3)^2+2^2+(-1)^2 = raiz14
Portanto,
costheta = 8raiz21,raiz14 = 8raiz294 = 87raiz6,
theta = arccos!l(87raiz6r) approx 62,1^circ

Resposta

a) 24raiz3.
b) 6raiz230.
c) theta = arccosl(tfrac87raiz6r)approx 62,1^circ.

Exercícios relacionados