Questão 2. (
pontos) Os pontos
e
săo coordenadas de um triângulo equilátero. Determine o ponto C e calcule a área desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos A(2,7) e B(8,5) e queremos encontrar o ponto C(x,y) de forma que o triângulo ABC seja equilátero. Isso significa que os três lados do triângulo têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de distância entre pontos no plano cartesiano e um pouco de geometria para garantir que todos os lados sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos A e B. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos pontos A(2,7) e B(8,5):
Então, a distância AB é
.
Passo 3
Como o triângulo é equilátero, as distâncias AC e BC também devem ser iguais a
. Vamos usar a fórmula da distância para estabelecer duas equações:
Para AC:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Para BC:
Elevando ao quadrado:
Agora temos duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar x e y. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Dividindo tudo por 3:
Passo 5
Agora, vamos expressar y em função de x:
Vamos substituir
na primeira equação
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos expandir os quadrados:
Substituindo na equação:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar as frações:
Somando os termos:
Subtraindo 360 de ambos os lados:
Dividindo tudo por 5:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então:
Portanto, temos duas soluções para x:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y usando
:
Para
:
Para
:
Portanto, os dois possíveis pontos C são:
Passo 9
Agora que temos os pontos C, vamos calcular a área do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo com lados iguais é:
Sabemos que o lado do triângulo é
, então:
Resposta
Os pontos C que formam um triângulo equilátero com A(2,7) e B(8,5) são:
A área desse triângulo equilátero é
unidades de área.