Questão 2. ( 2 , 0 pontos) Os pontos A(2,7), B(8,5) e C(x, y) săo coordenadas de um triângulo equilátero. Determine o ponto C e calcule a área desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos A(2,7) e B(8,5) e queremos encontrar o ponto C(x,y) de forma que o triângulo ABC seja equilátero. Isso significa que os três lados do triângulo têm o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de distância entre pontos no plano cartesiano e um pouco de geometria para garantir que todos os lados sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos A e B. A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando isso aos pontos A(2,7) e B(8,5):
dAB = raiz(8 - 2)^2 + (5 - 7)^2 = raiz6^2 + (-2)^2 = raiz36 + 4 = raiz40 = 2raiz10
Então, a distância AB é 2raiz10.

Passo 3

Como o triângulo é equilátero, as distâncias AC e BC também devem ser iguais a 2raiz10. Vamos usar a fórmula da distância para estabelecer duas equações:
Para AC:
raiz(x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 2raiz10
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 40
Para BC:
raiz(x - 8)^2 + (y - 5)^2 = 2raiz10
Elevando ao quadrado:
(x - 8)^2 + (y - 5)^2 = 40
Agora temos duas equações:
  1. (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 40
  2. (x - 8)^2 + (y - 5)^2 = 40

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar x e y. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x - 8)^2 + (y - 5)^2 - [(x - 2)^2 + (y - 7)^2] = 0
Expandindo os quadrados:
(x^2 - 16x + 64) + (y^2 - 10y + 25) - (x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 14y + 49) = 0
Simplificando:
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 10y + 25 - x^2 + 4x - 4 - y^2 + 14y - 49 = 0
Cancelando termos semelhantes:
-12x + 9y + 36 = 0
Simplificando mais:
12x - 9y = 36
Dividindo tudo por 3:
4x - 3y = 12

Passo 5

Agora, vamos expressar y em função de x:
4x - 3y = 12 implies 3y = 4x - 12 implies y = 4x - 123 = 43x - 4
Vamos substituir y = 43x - 4 na primeira equação (x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 40:
(x - 2)^2 + ( 43x - 4 - 7 )^2 = 40
Simplificando:
(x - 2)^2 + ( 43x - 11 )^2 = 40

Passo 6

Vamos expandir os quadrados:
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
( 43x - 11 )^2 = ( 43x )^2 - 2 cdot 43x cdot 11 + 11^2 = 169x^2 - 883x + 121
Substituindo na equação:
x^2 - 4x + 4 + 169x^2 - 883x + 121 = 40
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar as frações:
9x^2 - 36x + 36 + 16x^2 - 264x + 1089 = 360
Somando os termos:
25x^2 - 300x + 1125 = 360
Subtraindo 360 de ambos os lados:
25x^2 - 300x + 765 = 0
Dividindo tudo por 5:
5x^2 - 60x + 153 = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática 5x^2 - 60x + 153 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 5, b = -60, e c = 153:
De<a = (-60)^2 - 4 cdot 5 cdot 153 = 3600 - 3060 = 540
Então:
x = 60 pm raiz54010 = 60 pm raiz36 cdot 1510 = 60 pm 6raiz1510 = 6010 pm 6raiz1510 = 6 pm 3raiz155
Portanto, temos duas soluções para x:
  1. x = 6 + 3raiz155
  2. x = 6 - 3raiz155

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y usando y = 43x - 4 :
Para x = 6 + 3raiz155:
y = 43(6 + 3raiz155) - 4 = 243 + 12raiz1515 - 4 = 8 + 4raiz155 - 4 = 4 + 4raiz155
Para x = 6 - 3raiz155:
y = 43(6 - 3raiz155) - 4 = 243 - 12raiz1515 - 4 = 8 - 4raiz155 - 4 = 4 - 4raiz155
Portanto, os dois possíveis pontos C são:
  1. C(6 + 3raiz155, 4 + 4raiz155)
  2. C(6 - 3raiz155, 4 - 4raiz155)

Passo 9

Agora que temos os pontos C, vamos calcular a área do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo com lados iguais é:
Área = raiz34 cdot lado^2 Á
Sabemos que o lado do triângulo é 2raiz10, então:
Área = raiz34 cdot (2raiz10)^2 = raiz34 cdot 4 cdot 10 = raiz34 cdot 40 = 10raiz3 Á

Resposta

Os pontos C que formam um triângulo equilátero com A(2,7) e B(8,5) são:
  1. C(6 + 3raiz155, 4 + 4raiz155)
  2. C(6 - 3raiz155, 4 - 4raiz155)
A área desse triângulo equilátero é 10raiz3 unidades de área.

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