Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Pra resolver isso, vamos precisar checar se
satisfaz duas propriedades básicas de transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, vale que:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a aditividade está ok.
Passo 4
Agora, vamos checar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Então,
, o que confirma a homogeneidade.
Passo 5
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que ela é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
é uma transformação linear.