Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: R^4 longrightarrow R^3 dada por T(x, y, z, w)=(y, z, w).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a aplicação T: R^4 longrightarrow R^3 definida por T(x, y, z, w) = (y, z, w) é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Pra resolver isso, vamos precisar checar se T satisfaz duas propriedades básicas de transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u e v e para qualquer escalar c , vale que:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (Aditividade)
  2. T(cu) = cT(u) (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja u = (x1, y1, z1, w1) e v = (x2, y2, z2, w2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) = (y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2)
Por outro lado:
T(u) + T(v) = (y1, z1, w1) + (y2, z2, w2) = (y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2)
Vemos que T(u + v) = T(u) + T(v) , então a aditividade está ok.

Passo 4

Agora, vamos checar a homogeneidade. Seja c um escalar e u = (x, y, z, w) . Então:
T(cu) = T(cx, cy, cz, cw) = (cy, cz, cw) = c(y, z, w) = cT(u)
Então, T(cu) = cT(u) , o que confirma a homogeneidade.

Passo 5

Como a transformação T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que ela é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T(x, y, z, w) = (y, z, w) é uma transformação linear.

Exercícios relacionados