Questäo 4. (2,0 pontos) Os vetores a e b formam um ângulo de 30^circ entre si, calcule o angulo entre rho s vetores p=a+b e q=a-b, sabendo que |a|=raiz3 e |b|=1.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores vec a e vec b com |vec a|=raiz3, |vec b|=1 e ângulo entre eles de 30^circ. Definimos vec p=vec a+vec b e vec q=vec a-vec b e queremos calcular o ângulo theta entre vec p e vec q. Vamos usar produto escalar e a relação
costheta = vec pcdotvec q|vec p|,|vec q|

Passo 2

Calcular o produto escalar
vec pcdotvec q = (vec a+vec b)cdot(vec a-vec b) = vec acdotvec a - vec bcdotvec b = |vec a|^2 - |vec b|^2 = 3 - 1 = 2

Passo 3

Calcular as magnitudes:
|vec p|^2 = |vec a|^2 + |vec b|^2 + 2,vec acdotvec b = 3 + 1 + 2cdot|vec a|,|vec b|cos30^circ = 4 + 2cdotraiz3cdot1cdotraiz32 = 7,
logo |vec p| = raiz7 .
|vec q|^2 = |vec a|^2 + |vec b|^2 - 2,vec acdotvec b = 3 + 1 - 3 = 1,
então |vec q| = 1 .

Passo 4

Substituindo em
costheta = vec pcdotvec q|vec p|,|vec q| = 2raiz7cdot1 = 2raiz7

Passo 5

Portanto
theta = arccos2raiz7 approx 40,9^circ

Resposta

theta = arccos2raiz7approx 40,9^circ

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