Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x, x+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a aplicação T: R^2 longrightarrow R^2 definida por T(x, y) = (x, x + 1) é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar que uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a propriedade da adição dos vetores. Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, (x1 + x2) + 1)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = (x1, x1 + 1)
T(v) = (x2, x2 + 1)
T(u) + T(v) = (x1 + x2, (x1 + 1) + (x2 + 1)) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2)
Comparando os dois resultados:
T(u + v) = (x1 + x2, x1 + x2 + 1)
T(u) + T(v) = (x1 + x2, x1 + x2 + 2)
Vemos que T(u + v) neq T(u) + T(v) , já que o segundo componente difere.

Passo 3

Já que a primeira propriedade não foi satisfeita, não precisamos verificar a segunda, mas por completude, vamos ver a multiplicação por escalar. Seja c um escalar e u = (x, y) :
T(cu) = T(cx, cy) = (cx, cx + 1)
cT(u) = c(x, x + 1) = (cx, c(x + 1)) = (cx, cx + c)
Comparando:
T(cu) = (cx, cx + 1)
cT(u) = (cx, cx + c)
A menos que c = 1 , esses resultados não são iguais, o que também mostra que a transformação não satisfaz a propriedade da multiplicação por escalar.

Resposta

Então, concluindo tudo, a aplicação T(x, y) = (x, x + 1) não é uma transformação linear.

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