Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar que uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades principais:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos testar a propriedade da adição dos vetores. Seja
e
. Então:
Agora, vamos calcular
:
Comparando os dois resultados:
Vemos que
, já que o segundo componente difere.
Passo 3
Já que a primeira propriedade não foi satisfeita, não precisamos verificar a segunda, mas por completude, vamos ver a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
:
Comparando:
A menos que
, esses resultados não são iguais, o que também mostra que a transformação não satisfaz a propriedade da multiplicação por escalar.
Resposta
Então, concluindo tudo, a aplicação
não é uma transformação linear.