Questão 3 (1,5). Considere a população estatística X com a seguinte distribuição de probabilidade:
c|cc $X=x$ & 0 & 1 hline$P(X=x)$ & 0,6 & 0,4 0 1
n=5 0,6 0,4
Suponha que uma amostra aleatória de tamanho barX foi retirada (com reposição) dessa população.
a) Calcule quantas amostras de tamanho 5 podem ser retiradas desta população.
b) Obtenha o valor esperado e a variância da média ( ) dessas amostras.
c) Utilize uma das possíveis amostras para obter uma estimativa pontual da média populacional e uma estimativa pontual da variância populacional, apresentando as expressões matemáticas dessas medidas. Compare essas estimativas com os valores dos parâmetros que elas estimam e explique porque as estimativas por intervalo são preferíveis às estimativas por ponto.

Passo 1

Temos uma população onde X assume os valores 0 e 1 com probabilidades P(X=0)=0,6 e P(X=1)=0,4. Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho n=5 com reposição. Para resolver precisamos usar contagem de espaço amostral, propriedades de esperança e variância da média amostral e estimadores pontuais de média e variância.

Passo 2

Como cada retirada pode ser 0 ou 1 e as 5 retiradas são independentes (devido à reposição), o número de sequências possíveis é 2^5=32.

Passo 3

Para calcular o valor esperado e a variância da média amostral, primeiro achamos as características da população: E(X)=0cdot0,6+1cdot0,4=0,4, Var(X)=0,4times0,6=0,24 Como bar X=1nsumi=1^nXi, valem: E(bar X)=E(X)=0,4, Var(bar X)=Var(X)n=0,245=0,048

Passo 4

Escolho por exemplo a amostra (1,0,1,1,0). Os estimadores pontuais são dada por hatmu=bar X=1nsumiXi e hatsigma^2=s^2=1n-1sumi(Xi-bar X)^2.

Passo 5

Na amostra selecionada temos bar x=1+0+1+1+05=35=0,6, e as diferenças ao quadrado são (1-0,6)^2=0,16, (0-0,6)^2=0,36, (1-0,6)^2=0,16, (1-0,6)^2=0,16, (0-0,6)^2=0,36, cuja soma é 1,2. Logo s^2=1,25-1=0,3

Passo 6

Comparando: hatmu=0,6 contra mu=0,4 e hatsigma^2=0,3 contra sigma^2=0,24. As estimativas pontuais são só um valor sem indicar sua precisão ou incerteza. Estimativas por intervalo fornecem uma faixa com nível de confiança e uma margem de erro, sendo portanto mais informativas e confiáveis.

Resposta

a) 32 amostras. b) E(bar X)=0,4; Var(bar X)=0,048. c) Usando a amostra (1,0,1,1,0): hatmu=bar x=0,6, hatsigma^2=s^2=0,3; comparando com mu=0,4 e sigma^2=0,24. Estimativas por intervalo são preferíveis porque dão margem de erro e nível de confiança, ao contrário das pontuais.

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