Questão 3 (1,5). Considere a população estatística
com a seguinte distribuição de probabilidade:
0
1
0,6
0,4
Suponha que uma amostra aleatória de tamanho
foi retirada (com reposição) dessa população.
a) Calcule quantas amostras de tamanho 5 podem ser retiradas desta população.
b) Obtenha o valor esperado e a variância da média (
) dessas amostras.
c) Utilize uma das possíveis amostras para obter uma estimativa pontual da média populacional e uma estimativa pontual da variância populacional, apresentando as expressões matemáticas dessas medidas. Compare essas estimativas com os valores dos parâmetros que elas estimam e explique porque as estimativas por intervalo são preferíveis às estimativas por ponto.
|
0 | 1 |
|
0,6 | 0,4 |
a) Calcule quantas amostras de tamanho 5 podem ser retiradas desta população.
b) Obtenha o valor esperado e a variância da média (
c) Utilize uma das possíveis amostras para obter uma estimativa pontual da média populacional e uma estimativa pontual da variância populacional, apresentando as expressões matemáticas dessas medidas. Compare essas estimativas com os valores dos parâmetros que elas estimam e explique porque as estimativas por intervalo são preferíveis às estimativas por ponto.
Passo 1
Temos uma população onde X assume os valores 0 e 1 com probabilidades P(X=0)=0,6 e P(X=1)=0,4. Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho
com reposição. Para resolver precisamos usar contagem de espaço amostral, propriedades de esperança e variância da média amostral e estimadores pontuais de média e variância.
Passo 2
Como cada retirada pode ser 0 ou 1 e as 5 retiradas são independentes (devido à reposição), o número de sequências possíveis é
.
Passo 3
Para calcular o valor esperado e a variância da média amostral, primeiro achamos as características da população:
Como
, valem:
Passo 4
Escolho por exemplo a amostra
. Os estimadores pontuais são dada por
e
.
Passo 5
Na amostra selecionada temos
e as diferenças ao quadrado são
,
,
,
,
, cuja soma é 1,2. Logo
Passo 6
Comparando:
contra
e
contra
. As estimativas pontuais são só um valor sem indicar sua precisão ou incerteza. Estimativas por intervalo fornecem uma faixa com nível de confiança e uma margem de erro, sendo portanto mais informativas e confiáveis.
Resposta
a) 32 amostras. b)
;
. c) Usando a amostra (1,0,1,1,0):
,
; comparando com
e
. Estimativas por intervalo são preferíveis porque dão margem de erro e nível de confiança, ao contrário das pontuais.