Questão
. Defina estimador imparcial e estimador eficiente. Suponha que a média de uma população seja
e existem dois estimadores para esse parâmetro,
e
. Se
,
e
, qual dos dois é o melhor estimador de
? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um estimador imparcial e um estimador eficiente e, em seguida, decidir qual dos dois estimadores
e
é melhor para estimar
, usando as informações sobre expectativa e variância de cada um.
Passo 2
Um estimador é dito imparcial quando o valor esperado dele coincide com o parâmetro que se quer estimar, ou seja,
e, portanto, o viés
.
Um estimador imparcial é eficiente se, entre todos os estimadores imparciais para o mesmo parâmetro, ele possui a menor variância possível. Em outras palavras, é o que dá mais precisão sem introduzir viés.
Um estimador imparcial é eficiente se, entre todos os estimadores imparciais para o mesmo parâmetro, ele possui a menor variância possível. Em outras palavras, é o que dá mais precisão sem introduzir viés.
Passo 3
Verificando a imparcialidade de cada estimador: para
temos
, logo
é imparcial. Para
temos
, então
é viesado.
Como é viesado, podemos comparar os estimadores pelo erro quadrático médio (EQM ou MSE), que reúne variância e viés ao quadrado:
Como
Passo 4
Calculando:
Passo 5
Como
é imparcial e tem
menor que
,
é o melhor estimador de
.
Resposta
O melhor estimador é
, pois ele é imparcial (viés zero) e apresenta erro quadrático médio menor do que
.