Questão 2(0,5). Defina estimador imparcial e estimador eficiente. Suponha que a média de uma população seja mu=5 e existem dois estimadores para esse parâmetro, mu1 e mu2. Se mu, e , qual dos dois é o melhor estimador de ? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um estimador imparcial e um estimador eficiente e, em seguida, decidir qual dos dois estimadores hatmu1 e hatmu2 é melhor para estimar mu=5, usando as informações sobre expectativa e variância de cada um.

Passo 2

Um estimador é dito imparcial quando o valor esperado dele coincide com o parâmetro que se quer estimar, ou seja, E(hattheta)=theta e, portanto, o viés Bias(hattheta)=E(hattheta)-theta=0.
Um estimador imparcial é eficiente se, entre todos os estimadores imparciais para o mesmo parâmetro, ele possui a menor variância possível. Em outras palavras, é o que dá mais precisão sem introduzir viés.

Passo 3

Verificando a imparcialidade de cada estimador: para hatmu1 temos E(hatmu1)=5=mu, logo hatmu1 é imparcial. Para hatmu2 temos E(hatmu2)=3neq5, então hatmu2 é viesado.
Como hatmu2 é viesado, podemos comparar os estimadores pelo erro quadrático médio (EQM ou MSE), que reúne variância e viés ao quadrado:

Passo 4

Calculando:
MSE(hatmu1)=2+0^2=2,
MSE(hatmu2)=1+(3-5)^2=1+4=5

Passo 5

Como hatmu1 é imparcial e tem MSE=2 menor que MSE(hatmu2)=5, hatmu1 é o melhor estimador de mu.

Resposta

O melhor estimador é hatmu1, pois ele é imparcial (viés zero) e apresenta erro quadrático médio menor do que hatmu2.

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