Questão 4. Considere o problema de difusão de calor \left\{\begin{array}{l}4 u_{t}(x, t)-u_{x x}(x, t)=0 \\\ u(x, 0)=\delta(x-1)\end{array}\right.
(A)(1.0pt) apresente o problema de valor inicial que sua transformada de Fourier U(\cdot, t) deve satisfazer, e então obtenha expressão analítica para U(\cdot, t)
(B)(0.8pt) obtenha u(x, t) como transformada inversa da expressão do ítem anterior.

Passo 1

O enunciado é o problema de difusão de calor
\begin{cases} 4\,u_{t}(x,t)-u_{xx}(x,t)=0,\\\ u(x,0)=\delta(x-1), \end{cases}
ou seja, uma equação de calor com coeficiente de difusão D=\tfrac14 e condição inicial concentrada em x=1. Vamos usar a transformada de Fourier em x,
U(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-ikx}\,dx,
para obter um problema de valor inicial em k e então inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier em x à PDE, lembrando que \mathcal{F}[u_{xx}]=-(k^2)U e \mathcal{F}[u_{t}]=\partial_{t}U, obtemos
4\,\partial_{t}U(k,t)-\bigl(-k^2\bigr)U(k,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \partial_{t}U(k,t)+\frac{k^2}{4}U(k,t)=0.
Para a condição inicial,
U(k,0)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-1)e^{-ikx}\,dx=e^{-ik}.

Passo 3

Temos um ODE em t:
\partial_{t}U(k,t)+\frac{k^2}{4}U(k,t)=0, \quad U(k,0)=e^{-ik}.
É uma equação de coeficientes constantes, cuja solução é
U(k,t)=e^{-ik}\exp\!\Bigl(-\frac{k^2}{4}t\Bigr).

Passo 4

Para voltar a u(x,t), usamos a transformada inversa
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik}e^{-\frac{k^2}{4}t}e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{k^2}{4}t}e^{ik(x-1)}\,dk.

Passo 5

Reconhecemos a integral Gaussiana
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a k^2}e^{ibk}\,dk =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\exp\!\Bigl(-\frac{b^2}{4a}\Bigr),
com a=\tfrac{t}{4} e b=x-1. Assim,
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t}{4}k^2}e^{ik(x-1)}\,dk =\sqrt{\frac{\pi}{t/4}}\;\exp\!\Bigl(-\frac{(x-1)^2}{t}\Bigr) =2\sqrt{\frac{\pi}{t}}\;e^{-\frac{(x-1)^2}{t}}.
Dividindo por 2\pi vem
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\,2\sqrt{\frac{\pi}{t}}\;e^{-\frac{(x-1)^2}{t}} =\frac{1}{\sqrt{\pi\,t}}\;e^{-\frac{(x-1)^2}{t}}.

Resposta

(A) O problema para U(k,t) é
\begin{cases} \partial_{t}U(k,t)+\dfrac{k^2}{4}U(k,t)=0,\\\ U(k,0)=e^{-ik}, \end{cases}
e
U(k,t)=e^{-ik}\exp\!\Bigl(-\tfrac{k^2}{4}t\Bigr).
(B) A transformada inversa dá
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,t}}\;e^{-\frac{(x-1)^2}{t}}.

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