Questão 4. Considere o problema de difusão de calor
(A)(1.0pt) apresente o problema de valor inicial que sua transformada de Fourier
deve satisfazer, e então obtenha expressão analítica para
(B)(0.8pt) obtenha
como transformada inversa da expressão do ítem anterior.
(A)(1.0pt) apresente o problema de valor inicial que sua transformada de Fourier
(B)(0.8pt) obtenha
Passo 1
O enunciado é o problema de difusão de calor
ou seja, uma equação de calor com coeficiente de difusão
e condição inicial concentrada em
. Vamos usar a transformada de Fourier em
,
para obter um problema de valor inicial em
e então inverter a transformada.
Passo 2
Aplicando a transformada de Fourier em
à PDE, lembrando que
e
, obtemos
Para a condição inicial,
Passo 3
Temos um ODE em
:
É uma equação de coeficientes constantes, cuja solução é
Passo 4
Para voltar a
, usamos a transformada inversa
Passo 5
Reconhecemos a integral Gaussiana
com
e
. Assim,
Dividindo por
vem
Resposta
(A) O problema para
é
e
(B) A transformada inversa dá