Questão 3. Sejam f(t)=t e^{-|t|}, u(\cdot) função degrau unitário, i=\sqrt{-1}, \mathcal{F}\{\cdot\} a transformada de Fourier.
(A)(0.8pt) Sobre F(w)=\mathcal{F}\{f(t)\} é correto:
(B)(0.8pt) Sobre G(w)=\mathcal{F}\{f(t) u(t)\} é correto:
( ) \frac{-4 i w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{-2 i w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{-2 i w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{-2 w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{1+2 i w-w^{2}}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{1-w^{2}}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{1-w^{2}}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{1-2 i w-w^{2}}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{2 w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) \frac{2 w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) nenhuma das alternativas anteriores
( ) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado dá f(t)=t e^{-|t|} e pede duas transformadas de Fourier:
  1. F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\} com integral de -\infty a +\infty.
  2. G(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\,u(t)\} com u(t) o degrau unitário e integral de 0 a +\infty.
    Vamos usar a transformada de e^{-|t|}, a propriedade de diferenciação no domínio da frequência e o cálculo direto de integrais.

Passo 2

Para F(\omega) note que f(t)=t\bigl(e^{-|t|}\bigr). Como
\mathcal{F}\{e^{-|t|}\}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t|}e^{-i\omega t}dt=\frac{2}{1+\omega^2},
e vale a propriedade
\mathcal{F}\{t\,g(t)\}=i\,\frac{d}{d\omega}\bigl[\mathcal{F}\{g(t)\}\bigr],
temos
F(\omega) =i\,\frac{d}{d\omega}\!\Bigl[\frac{2}{1+\omega^2}\Bigr] =i\!\Bigl(-\frac{4\omega}{(1+\omega^2)^2}\Bigr) =\frac{-4\,i\,\omega}{(1+\omega^2)^2}.

Passo 3

Para G(\omega) usamos a definição direta:
G(\omega) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(1+i\omega)t}\,dt.
Sabendo que \int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}dt=1/a^2 para \Re(a)>0 e tomando a=1+i\omega, segue
G(\omega)=\frac{1}{(1+i\omega)^2}.

Passo 4

Para comparar com as alternativas, escrevemos
\frac{1}{(1+i\omega)^2} =\frac{(1-i\omega)^2}{(1+\omega^2)^2} =\frac{1-2\,i\,\omega-\omega^2}{(1+\omega^2)^2}.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{-4\,i\,\omega}{(1+\omega^2)^2}
(B) \displaystyle \frac{1-2\,i\,\omega-\omega^2}{(1+\omega^2)^2}

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