Questão 4. Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime-y^prime-2 y=0 y(0)=alpha e y^prime(0)=2
Determine a única solução para o problema em questão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
y'' - y' - 2y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = alpha e y'(0) = 2
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma y'' + a y' + b y = 0 é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a equação é y'' - y' - 2y = 0 , então a = -1 e b = -2 . Substituindo na equação característica:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -1 , e c = -2 . Calculando o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4 times 1 times (-2) = 1 + 8 = 9
Como o discriminante é positivo, teremos duas raízes reais e distintas:
r = 1 pm raiz92 = 1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 1 + 32 = 2 e r2 = 1 - 32 = -1

Passo 4

Com as raízes r1 = 2 e r2 = -1 , a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^2t + C2 e^-t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = alpha :
y(0) = C1 e^2 times 0 + C2 e^-0 = C1 + C2 = alpha
Isso nos dá a primeira equação:
C1 + C2 = alpha (1)

Passo 6

Agora, vamos achar a derivada da solução geral para usar a segunda condição inicial y'(0) = 2 :
y'(t) = 2 C1 e^2t - C2 e^-t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = 2 C1 e^0 - C2 e^0 = 2 C1 - C2 = 2
Isso nos dá a segunda equação:
2 C1 - C2 = 2 (2)

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = alpha 2 C1 - C2 = 2
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações:
C1 + C2 + 2 C1 - C2 = alpha + 2 3 C1 = alpha + 2 C1 = alpha + 23
Agora, substituindo C1 na equação (1):
alpha + 23 + C2 = alpha C2 = alpha - alpha + 23 = 3alpha - alpha - 23 = 2alpha - 23 = 2(alpha - 1)3

Resposta

A única solução para o problema de valor inicial é:
y(t) = ( alpha + 23 ) e^2t + ( 2(alpha - 1)3 ) e^-t

Exercícios relacionados