Determine a única solução para o problema em questão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
Com as condições iniciais:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma é:
No nosso caso, a equação é , então e . Substituindo na equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo, teremos duas raízes reais e distintas:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos achar a derivada da solução geral para usar a segunda condição inicial :
Aplicando :
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações: