Questão 2. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
a) (2 pt) Determine duas soluções li da EDO homogênea associada à (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) (0,5 pt) Determine a solução geral para (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) (0,5 pt) Determine a solução geral para (1).
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem. Vamos precisar de:
- Resolver a homogênea associada para achar duas soluções lineares independentes.
- Usar o método dos coeficientes desajustados (método de tentativa com polinômio) para encontrar uma solução particular.
- Combinar homogênea e particular para obter a solução geral.
Passo 2
A EDO homogênea é
Formamos o polinômio característico
O discriminante é
, logo há raiz dupla
As duas soluções linearmente independentes são
Passo 3
Para a solução particular
, tentamos um polinômio de grau 2:
Então
Substituindo em
:
Esse deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
- :
.
- :
- constante:
Logo
-
-
- constante:
Logo
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma da solução da homogênea com a particular:
Resposta
(a) As soluções da homogênea são
(b) Uma solução particular é
(c) A solução geral é