Questão 2. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
4 x^{\prime \prime}+20 x^{\prime}+25 x=25 t^{2}+1 .
a) (2 pt) Determine duas soluções li da EDO homogênea associada à (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) (0,5 pt) Determine a solução geral para (1).

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4x'' + 20x' + 25x = 25t^2 + 1.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de segunda ordem. Vamos precisar de:
  1. Resolver a homogênea associada para achar duas soluções lineares independentes.
  2. Usar o método dos coeficientes desajustados (método de tentativa com polinômio) para encontrar uma solução particular.
  3. Combinar homogênea e particular para obter a solução geral.

Passo 2

A EDO homogênea é
4x'' + 20x' + 25x = 0.
Formamos o polinômio característico
4r^2 + 20r + 25 = 0.
O discriminante é \Delta = 20^2 - 4\cdot4\cdot25 = 400 - 400 = 0, logo há raiz dupla
r = \frac{-20}{2\cdot4} = -\frac{5}{2}.
As duas soluções linearmente independentes são
x_1(t) = e^{-\frac{5}{2}t}, \qquad x_2(t) = t\,e^{-\frac{5}{2}t}.

Passo 3

Para a solução particular \,x_p(t), tentamos um polinômio de grau 2:
x_p(t) = At^2 + Bt + C.
Então
x_p'(t) = 2At + B, \quad x_p''(t) = 2A.
Substituindo em 4x''+20x'+25x:
4\cdot(2A) + 20\cdot(2At+B) + 25\cdot(At^2+Bt+C) = 8A + 40At + 20B + 25At^2 + 25Bt + 25C.
Esse deve ser igual a 25t^2 + 0t + 1. Igualando coeficientes:
- t^2: 25A = 25 \Rightarrow A = 1.
- t^1: 40A + 25B = 0 \Rightarrow 40 + 25B = 0 \Rightarrow B = -\tfrac{8}{5}.
- constante: 8A + 20B + 25C = 1 \Rightarrow 8 + 20(-\tfrac{8}{5}) +25C =1 \Rightarrow 8 -32 +25C =1 \Rightarrow 25C =25 \Rightarrow C =1.
Logo
x_p(t) = t^2 - \frac{8}{5}t + 1.

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da solução da homogênea com a particular:
x(t) = C_1\,e^{-\frac{5}{2}t} + C_2\,t\,e^{-\frac{5}{2}t} + \Bigl(t^2 - \tfrac{8}{5}t + 1\Bigr).

Resposta

(a) As soluções da homogênea são
x_1(t) = e^{-\frac{5}{2}t}, \qquad x_2(t) = t\,e^{-\frac{5}{2}t}.
(b) Uma solução particular é
x_p(t) = t^2 - \frac{8}{5}t + 1.
(c) A solução geral é
x(t) = C_1\,e^{-\frac{5}{2}t} + C_2\,t\,e^{-\frac{5}{2}t} + t^2 - \frac{8}{5}t + 1.

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