Questão 1. a) (1 pt) Enuncie, precisamente, o Teorema de Picard.
b) (1 pt)Determine a única solução para o problema de valor inicial
(Dica: Note que a EDO em questão é uma equação de Bernoulli.)
b) (1 pt)Determine a única solução para o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) enunciar, com precisão, o Teorema de Picard–Lindelöf de existência e unicidade para
com . - (b) resolver o problema de valor inicial
reconhecendo que é uma equação de Bernoulli.
Passo 2
Enunciado preciso do Teorema de Picard–Lindelöf:
Sejam
Então existe
tal que o problema de valor inicial
possui uma única solução
.
Passo 3
Reconhecemos a EDO
como uma equação de Bernoulli no formato
com
,
e
.
Passo 4
Fazemos a substituição padrão de Bernoulli:
Como
, substituímos
e obtemos
pois
.
Passo 5
Resolvemos a linear em
: o fator integrante é
Multiplicando por
dá
logo
Passo 6
Impondo a condição
, vem
Portanto
e voltando a
:
Resposta
(a) Sejam
Então existe
tal que o problema
tem uma única solução em ([t_{0}-h,t_{0}+h]].
(b) A solução única do problema dado é