Questão 1. a) (1 pt) Enuncie, precisamente, o Teorema de Picard.
b) (1 pt)Determine a única solução para o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)+\frac{1}{t} y(t)=t^{2} y(t)^{-3} \\\ y(1)=\frac{15}{7} \end{array} .\right.
(Dica: Note que a EDO em questão é uma equação de Bernoulli.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) enunciar, com precisão, o Teorema de Picard–Lindelöf de existência e unicidade para y'=f(t,y) com y(t_{0})=y_{0}.
  • (b) resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t)+\dfrac{1}{t}\,y(t)=t^{2}\,y(t)^{-3},\\\ y(1)=\dfrac{15}{7}, \end{cases}
reconhecendo que é uma equação de Bernoulli.

Passo 2

Enunciado preciso do Teorema de Picard–Lindelöf:
Sejam f(t,y)\) e \(\partial f/\partial y\) contínuas num retângulo \[R=\bigl\{(t,y):|t-t_{0}|\le a,\;|y-y_{0}|\le b\bigr\}.
Então existe h>0 tal que o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=f(t,y),\\\ y(t_{0})=y_{0} \end{cases}
possui uma única solução y(t)\] definida em \([t_{0}-h,t_{0}+h].

Passo 3

Reconhecemos a EDO
y'(t)+\frac{1}{t}\,y(t)=t^{2}\,y(t)^{-3}
como uma equação de Bernoulli no formato
y'+P(t)\,y=Q(t)\,y^{n},
com P(t)=1/t, Q(t)=t^{2} e n=-3.

Passo 4

Fazemos a substituição padrão de Bernoulli:
u=y^{1-n}=y^{4}.
Como u'=4\,y^{3}\,y', substituímos y' e obtemos
\frac{u'}{4\,y^{3}}+\frac{1}{t}\,y=t^{2}\,y^{-3} \;\Longrightarrow\; u'+\frac{4}{t}\,u=4\,t^{2},
pois y^{4}=u.

Passo 5

Resolvemos a linear em u: o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\!\int\!\frac{4}{t}dt\Bigr)=t^{4}.
Multiplicando por \mu
\bigl(t^{4}u\bigr)'=4\,t^{6} \;\Longrightarrow\; t^{4}u=\int4\,t^{6}dt=\frac{4}{7}\,t^{7}+C,
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u(t)=\frac{4}{7}\,t^{3}+C\,t^{-4}.

Passo 6

Impondo a condição u(1)=y(1)^{4}=(15/7)^{4}, vem
C=(15/7)^{4}-\frac{4}{7}.
Portanto
u(t)=\frac{4}{7}\,t^{3}+\Bigl((\tfrac{15}{7})^{4}-\tfrac{4}{7}\Bigr)t^{-4},
e voltando a y:
y(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{1/4}.

Resposta

(a) Sejam f(t,y)\) e \(\partial f/\partial y\) contínuas no retângulo \[R=\{(t,y):|t-t_{0}|\le a,\;|y-y_{0}|\le b\}.
Então existe h>0 tal que o problema
\begin{cases} y'=f(t,y),\\\ y(t_{0})=y_{0} \end{cases}
tem uma única solução em ([t_{0}-h,t_{0}+h]].
(b) A solução única do problema dado é
y(t) =\biggl(\frac{4}{7}\,t^{3}+\Bigl((\tfrac{15}{7})^{4}-\tfrac{4}{7}\Bigr)\,t^{-4}\biggr)^{1/4}.

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