Questão 3. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
a) ( 1 pt ) Mostre que
é uma solução da EDO homogênea associada à (2).
b) ( 1 pt ) Determine uma solução
para a EDO homogênea associada à (2) que seja li com
.
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) (0,5 pt) Determine a solução geral para (2).
b) ( 1 pt ) Determine uma solução
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) (0,5 pt) Determine a solução geral para (2).
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO equidimensional de Euler
Pede-se:
(a) mostrar que é solução da EDO homogênea associada;
(b) encontrar outra solução linearmente independente ;
(c) determinar uma solução particular da EDO não-homogênea;
(d) escrever a solução geral.
Vamos usar o método característico para a parte homogênea e tentativa polinomial para a não-homogênea.
(a) mostrar que
(b) encontrar outra solução linearmente independente
(c) determinar uma solução particular da EDO não-homogênea;
(d) escrever a solução geral.
Vamos usar o método característico para a parte homogênea e tentativa polinomial para a não-homogênea.
Passo 2
Para verificar que
é solução da homogênea.)
Passo 3
Assumindo
na homogênea e dividindo por
(com
) obtemos a equação característica
Já conhecíamos
. A segunda raiz dá a solução independente
Passo 4
Procuramos uma solução particular da forma
Então
Substituindo em
resulta
Igualando a
segue
Portanto
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular, ou seja
com
constantes arbitrárias.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)