Questão 3. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
t^{2} x^{\prime \prime}-t x^{\prime}-3 x=t^{8}+t^{5} .
a) ( 1 pt ) Mostre que \varphi_{1}(t)=t^{3} é uma solução da EDO homogênea associada à (2).
b) ( 1 pt ) Determine uma solução \varphi_{2}(t) para a EDO homogênea associada à (2) que seja li com \varphi_{1}(t).
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) (0,5 pt) Determine a solução geral para (2).

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO equidimensional de Euler
t^{2}x'' - t\,x' - 3x = t^{8} + t^{5}.
Pede-se:
(a) mostrar que \varphi_{1}(t)=t^{3} é solução da EDO homogênea associada;
(b) encontrar outra solução linearmente independente \varphi_{2}(t);
(c) determinar uma solução particular da EDO não-homogênea;
(d) escrever a solução geral.
Vamos usar o método característico para a parte homogênea e tentativa polinomial para a não-homogênea.

Passo 2

Para verificar que \varphi_{1}(t)=t^{3}$ satisfaz \[t^{2}x'' - t\,x' - 3x = 0\] calculemos \[x = t^{3},\quad x' = 3t^{2},\quad x'' = 6t.\] Substituindo, \[t^{2}\cdot6t \;-\; t\cdot3t^{2}\;-\;3\cdot t^{3} =6t^{3}-3t^{3}-3t^{3}=0,\] logo \(\varphi_{1}(t)=t^{3} é solução da homogênea.)

Passo 3

Assumindo x=t^{r} na homogênea e dividindo por t^{r} (com t>0) obtemos a equação característica
r(r-1)-r-3=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-2r-3=0 \quad\Longrightarrow\quad r=3\text{ ou }r=-1.
Já conhecíamos r=3. A segunda raiz dá a solução independente
\varphi_{2}(t)=t^{-1}.

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma
x_{p}(t)=A\,t^{8}+B\,t^{5}.
Então
x_{p}'=8A\,t^{7}+5B\,t^{4},\quad x_{p}''=56A\,t^{6}+20B\,t^{3}.
Substituindo em t^{2}x''-t x'-3x resulta
t^{2}x_{p}'' - t\,x_{p}' - 3x_{p} =(56-8-3)A\,t^{8}+(20-5-3)B\,t^{5} =45A\,t^{8}+12B\,t^{5}.
Igualando a t^{8}+t^{5} segue
45A=1,\quad12B=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac1{45},\;B=\frac1{12}.
Portanto
x_{p}(t)=\frac{1}{45}\,t^{8}+\frac{1}{12}\,t^{5}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular, ou seja
x(t) = C_{1}\,t^{3} + C_{2}\,t^{-1} + \frac{1}{45}\,t^{8} + \frac{1}{12}\,t^{5},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

(a) \varphi_{1}(t)=t^{3}
(b) \varphi_{2}(t)=t^{-1}
(c) x_{p}(t)=\displaystyle\frac{1}{45}\,t^{8}+\frac{1}{12}\,t^{5}
(d) x(t)=C_{1}\,t^{3}+C_{2}\,t^{-1}+\displaystyle\frac{1}{45}\,t^{8}+\frac{1}{12}\,t^{5}

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