Questão 1. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é dizer que duas funções f(t) e g(t) são l i.
b) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina solução geral para a EDO
x^{\prime \prime}+p(t) x^{\prime}+q(t) x=0
onde p e q são funções contínuas.
c) ( 1 pt ) Podemos afirmar que se \varphi_{1} e \varphi_{2} são li então W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)\left(t_{0}\right) \neq 0. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem e de independência linear (li) de funções. Precisamos:
  1. definir quando duas funções são li;
  2. lembrar qual é a forma da solução geral de
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
com p e q contínuas;
3) justificar por que, se \varphi_1 e \varphi_2 são li, então o Wronskiano W(\varphi_1,\varphi_2)(t_0)\neq0.

Passo 2

Dizemos que duas funções f(t) e g(t) são linearmente independentes (li) se a única combinação linear que as anula identicamente é a trivial, isto é, se
c_1\,f(t) + c_2\,g(t) = 0\quad\forall\,t
então necessariamente c_1 = 0 e c_2 = 0. Caso contrário, elas seriam linearmente dependentes.

Passo 3

Para a EDO homogênea de segunda ordem
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0,
com p e q contínuas, a solução geral é dada por
x(t) = C_1\,\varphi_1(t) + C_2\,\varphi_2(t),
onde \varphi_1 e \varphi_2 são duas soluções particularmente escolhidas e linearmente independentes, e C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

O Wronskiano de \varphi_1,\varphi_2 é
W(t) = \begin{vmatrix} \varphi_1(t) & \varphi_2(t)\\\ \varphi_1'(t) & \varphi_2'(t) \end{vmatrix}.
Pelo Teorema de Abel, ele satisfaz a equação
W'(t) + p(t)\,W(t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(-\int_{t_0}^t p(s)\,ds\Bigr).
Logo, ou W(t)\equiv0 em todo o intervalo (caso de dependência linear), ou W(t)\neq0 em todo o intervalo (caso de independência linear). Portanto, se \varphi_1,\varphi_2 são li, obrigatoriamente W(t_0)\neq0.

Resposta

a) Duas funções f(t) e g(t) são linearmente independentes se a única combinação linear
c_1\,f(t) + c_2\,g(t)=0\quad\forall\,t
implica c_1=c_2=0.
b) A solução geral da EDO
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
é
x(t) = C_1\,\varphi_1(t) + C_2\,\varphi_2(t),
onde \varphi_1 e \varphi_2 são duas soluções linearmente independentes.
c) Sim. Pelo Teorema de Abel, o Wronskiano satisfaz
W(t) = W(t_0)\exp\Bigl(-\int_{t_0}^t p(s)\,ds\Bigr),
de modo que, sendo \varphi_1 e \varphi_2 li, W não pode ser identicamente zero e, em particular, W(t_0)\neq0.

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