Questão 1. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é dizer que duas funções f(t) e g(t) são l i.
b) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina solução geral para a EDO
x^{\prime \prime}+p(t) x^{\prime}+q(t) x=0
onde p e q são funções contínuas.
c) ( 1 pt ) Podemos afirmar que se \varphi_{1} e \varphi_{2} são li então W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)\left(t_{0}\right) \neq 0. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem e de independência linear (li) de funções. Precisamos:
definir quando duas funções são li;
lembrar qual é a forma da solução geral de
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
com p e q contínuas;
3) justificar por que, se \varphi_1 e \varphi_2 são li, então o Wronskiano W(\varphi_1,\varphi_2)(t_0)\neq0.
Passo 2
Dizemos que duas funções f(t) e g(t) são linearmente independentes (li) se a única combinação linear que as anula identicamente é a trivial, isto é, se
c_1\,f(t) + c_2\,g(t) = 0\quad\forall\,t
então necessariamente c_1 = 0 e c_2 = 0. Caso contrário, elas seriam linearmente dependentes.
Passo 3
Para a EDO homogênea de segunda ordem
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0,
com p e q contínuas, a solução geral é dada por
x(t) = C_1\,\varphi_1(t) + C_2\,\varphi_2(t),
onde \varphi_1 e \varphi_2 são duas soluções particularmente escolhidas e linearmente independentes, e C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Logo, ou W(t)\equiv0 em todo o intervalo (caso de dependência linear), ou W(t)\neq0 em todo o intervalo (caso de independência linear). Portanto, se \varphi_1,\varphi_2 são li, obrigatoriamente W(t_0)\neq0.
Resposta
a) Duas funções f(t) e g(t) são linearmente independentes se a única combinação linear
c_1\,f(t) + c_2\,g(t)=0\quad\forall\,t
implica c_1=c_2=0.
b) A solução geral da EDO
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
é
x(t) = C_1\,\varphi_1(t) + C_2\,\varphi_2(t),
onde \varphi_1 e \varphi_2 são duas soluções linearmente independentes.
c) Sim. Pelo Teorema de Abel, o Wronskiano satisfaz