Questão 3. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
x^{\prime \prime}-\frac{4}{t} x^{\prime}+\frac{4}{t^{2}} x=t^{6}+5 t^{5} .
a) ( 1 pt ) Mostre que \varphi_{1}(t)=t é uma solução da EDO homogênea associada à (2).
b) (1 pt) Determine uma solução \varphi_{2}(t) para a EDO homogênea associada à (2) que seja li com \varphi_{1}(t).
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Determine a solução geral para (2).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea
x'' - \frac{4}{t}\,x' + \frac{4}{t^2}\,x = t^6 + 5t^5,
e pede:
  • (a) mostrar que \varphi_1(t)=t resolve a homogênea associada
x'' - \frac{4}{t}\,x' + \frac{4}{t^2}\,x = 0;
  • (b) encontrar uma segunda solução \varphi_2(t) linearmente independente de \varphi_1;
  • (c) achar uma solução particular da não-homogênea;
  • (d) escrever a solução geral.
    O conteúdo central é a equação de Euler–Cauchy, para a qual as soluções da homogênea são potências de t, e a parte particular se obtém por coeficientes indeterminados após multiplicar por t^2.

Passo 2

Verificamos que \varphi_1(t)=t$ resolve a homogênea. Então \[\varphi_1'(t)=1,\quad \varphi_1''(t)=0.\] Substituindo em \[x'' - \frac{4}{t}\,x' + \frac{4}{t^2}\,x = 0\] vem \[0 - \frac{4}{t}\cdot 1 + \frac{4}{t^2}\cdot t = -\frac{4}{t} + \frac{4}{t} =0.\] Logo \(\varphi_1(t)=t realmente é solução.)

Passo 3

Para encontrar \varphi_2(t) independente de \varphi_1, usamos redução de ordem. Na forma padrão
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x=0 \quad\text{temos}\quad p(t)=-\frac{4}{t}.
A segunda solução é
\varphi_2(t) = \varphi_1(t)\,\int \frac{e^{-\int p(t)\,dt}}{\varphi_1(t)^2}\,dt = t\int \frac{e^{\int 4/t\,dt}}{t^2}\,dt = t\int \frac{t^4}{t^2}\,dt = t\int t^2\,dt = t\cdot\frac{t^3}{3} = \frac{t^4}{3}.
Desprezando a constante multiplicativa, tomamos
\varphi_2(t)=t^4.

Passo 4

Para achar uma solução particular x_p(t) da não-homogênea, primeiro multiplicamos a equação por t^2:
t^2x'' -4t\,x' +4x = t^8 +5t^7.
Como o lado direito é combinação de t^8 e t^7, propomos
x_p(t)=A\,t^8 + B\,t^7.
Calculamos
t^2x_p'' = A\cdot 56\,t^8 + B\cdot 42\,t^7, \quad -4t\,x_p' = -4\bigl(8A\,t^8 +7B\,t^7\bigr) = -32A\,t^8 -28B\,t^7, \quad 4x_p = 4A\,t^8 +4B\,t^7.
Somando-os:
t^2x_p'' -4t\,x_p' +4x_p = (56A-32A+4A)\,t^8 + (42B-28B+4B)\,t^7 = 28A\,t^8 +18B\,t^7.
Igualando a t^8+5t^7
28A = 1,\quad 18B = 5 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac1{28},\;B=\frac{5}{18}.
Logo
x_p(t)=\frac{1}{28}\,t^8 + \frac{5}{18}\,t^7.

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é a soma da geral da homogênea com x_p:
x(t) = C_1\,t + C_2\,t^4 + \frac{1}{28}\,t^8 + \frac{5}{18}\,t^7,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

\boxed{ x(t) = C_1\,t + C_2\,t^4 + \frac{1}{28}\,t^8 + \frac{5}{18}\,t^7. }

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