Questão 3. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
a) ( 1 pt ) Mostre que
é uma solução da EDO homogênea associada à (2).
b) (1 pt) Determine uma solução
para a EDO homogênea associada à (2) que seja li com
.
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) (
) Determine a solução geral para (2).
b) (1 pt) Determine uma solução
c) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (2).
d) (
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea
e pede:
- (a) mostrar que
resolve a homogênea associada
- (b) encontrar uma segunda solução
linearmente independente de ; - (c) achar uma solução particular da não-homogênea;
- (d) escrever a solução geral.
O conteúdo central é a equação de Euler–Cauchy, para a qual as soluções da homogênea são potências de, e a parte particular se obtém por coeficientes indeterminados após multiplicar por .
Passo 2
Verificamos que
realmente é solução.)
Passo 3
Para encontrar
independente de
, usamos redução de ordem. Na forma padrão
A segunda solução é
Desprezando a constante multiplicativa, tomamos
Passo 4
Para achar uma solução particular
da não-homogênea, primeiro multiplicamos a equação por
:
Como o lado direito é combinação de
e
, propomos
Calculamos
Somando-os:
Igualando a
dá
Logo
Passo 5
A solução geral da não-homogênea é a soma da geral da homogênea com
:
onde
são constantes arbitrárias.