Questão 2. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
a) (2 pt) Determine duas soluções li da EDO homogênea associada à (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) (
) Determine a solução geral para (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) (
Passo 1
O enunciado dá a EDO não-homogênea
e pede:
- (a) duas soluções lineares independentes da homogênea associada,
- (b) uma solução particular da não-homogênea,
- (c) a solução geral.
O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes, usando equação característica e método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a homogênea associada
, montamos a equação característica
Calculando o discriminante,
logo as raízes são
Dessas raízes surgem duas soluções lineares independentes:
Passo 3
Para achar uma solução particular, tentamos
já que o termo forçante é
e
não é raiz da equação característica. Calculamos
Substituindo em
obtemos
logo
, o que dá
e
. Assim
Passo 4
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)