Questão 2. Considere a seguinte EDO não-homogênea:
x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+13 x=9 t e^{-2 t} .
a) (2 pt) Determine duas soluções li da EDO homogênea associada à (1).
b) (1,5 pt) Determine uma solução particular para (1).
c) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Determine a solução geral para (1).

Passo 1

O enunciado dá a EDO não-homogênea
x'' + 4x' + 13x = 9t e^{-2t}
e pede:
  • (a) duas soluções lineares independentes da homogênea associada,
  • (b) uma solução particular da não-homogênea,
  • (c) a solução geral.
    O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes, usando equação característica e método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a homogênea associada x''+4x'+13x=0, montamos a equação característica
r^2 + 4r + 13 = 0.
Calculando o discriminante,
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot13 = 16 - 52 = -36,
logo as raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i.
Dessas raízes surgem duas soluções lineares independentes:
x_1(t) = e^{-2t}\cos(3t), \quad x_2(t) = e^{-2t}\sin(3t).

Passo 3

Para achar uma solução particular, tentamos
x_p(t) = e^{-2t}(A t + B),
já que o termo forçante é 9t e^{-2t} e -2 não é raiz da equação característica. Calculamos
x_p' = e^{-2t}\bigl(-2(A t+B)+A\bigr), \quad x_p'' = e^{-2t}\bigl(-2A-2[-2(A t+B)+A]\bigr) = e^{-2t}\bigl(4A t -4A +4B\bigr).
Substituindo em x''+4x'+13x obtemos
e^{-2t}\bigl(9A t +9B\bigr) \overset{!}{=}9t e^{-2t},
logo 9A t +9B =9t, o que dá A=1 e B=0. Assim
x_p(t) = t\,e^{-2t}.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = C_1 e^{-2t}\cos(3t) + C_2 e^{-2t}\sin(3t) + t\,e^{-2t}.

Resposta

a) x_1(t)=e^{-2t}\cos(3t),\;x_2(t)=e^{-2t}\sin(3t)
b) x_p(t)=t\,e^{-2t}
c) x(t)=C_1e^{-2t}\cos(3t)+C_2e^{-2t}\sin(3t)+t\,e^{-2t}

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