Questão 1. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é dizer que duas funções f(t) e g(t) são l i.
b) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina solução geral para a EDO
x^{\prime \prime}+p(t) x^{\prime}+q(t) x=0
onde p e q são funções contínuas.
c) ( 1 pt ) Podemos afirmar que se W\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)\left(t_{0}\right) \neq 0 então \varphi_{1} e \varphi_{2} são li. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) definir o que significa duas funções f(t) e g(t) serem linearmente independentes (li); (b) definir o que é solução geral da EDO
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
com p,q contínuas; (c) dizer se W(\varphi_1,\varphi_2)(t_0)\neq0 implica que \varphi_1 e \varphi_2 são li, justificando.

Passo 2

Dizemos que duas funções f(t) e g(t) são linearmente independentes num intervalo I se a única forma de escrever
a\,f(t) + b\,g(t) = 0\quad\text{para todo }t\in I
é com a=0 e b=0. Se existirem constantes não todas nulas que satisfaçam essa igualdade em I, então elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Chamamos de solução geral da EDO
x'' + p(t)\,x' + q(t)\,x = 0
num intervalo I a combinação linear
x(t) = C_1\,\varphi_1(t) + C_2\,\varphi_2(t),
onde \varphi_1,\varphi_2 são duas soluções linearmente independentes e C_1,C_2 são parâmetros arbitrários. Essa fórmula gera todas as possíveis soluções da EDO.

Passo 4

Suponha que o wronskiano
W(\varphi_1,\varphi_2)(t) = \begin{vmatrix} \varphi_1(t) & \varphi_2(t)\\\ \varphi_1'(t) & \varphi_2'(t) \end{vmatrix}
satisfaça W(t_0)\neq0. Pelo teorema de Abel, num intervalo onde p e q são contínuas, ou W(t) é identicamente zero ou nunca se anula. Como em t_0 temos W(t_0)\neq0, segue W(t)\neq0 para todo t em I. Se \varphi_1,\varphi_2 fossem linearly dependentes, existiríam a,b, não ambos nulos, tais que a\,\varphi_1+b\,\varphi_2\equiv0, o que implica W\equiv0. Mas isso contraria W(t_0)\neq0. Logo, \varphi_1 e \varphi_2 são li.

Resposta

a) Duas funções f e g são li em I se a\,f+b\,g\equiv0 em I leva obrigatoriamente a a=b=0.
b) A solução geral de \displaystyle x''+p(t)x'+q(t)x=0 em I é \displaystyle x(t)=C_1\varphi_1(t)+C_2\varphi_2(t),
com \varphi_1,\varphi_2 li.
c) Sim. Se W(\varphi_1,\varphi_2)(t_0)\neq0, então pelo teorema de Abel W não se anula em I, o que impede dependência linear; portanto \varphi_1 e \varphi_2 são li.

Exercícios relacionados