Seja T a transformação Linear em P_{3}(R) dada por :
P(1)=1-t
P(1+t)=t^{3}
P\left(t+t^{2}\right)=3-t^{2}
P\left(t^{2}+t^{3}\right)=1+t^{2}
Vamos determinar T\left(x+y t+z t^{2}+w t^{3}\right) onde x+y t+z t^{2}+w t^{3} é um polinômio qualquer de P_{3}(R) e, a seguir, calcule T\left(2-3 t+4 t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon P_{3}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R}) pelas imagens de quatro polinômios que formam uma base. Nosso objetivo é achar uma fórmula geral para
T\bigl(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3\bigr)
e depois calcular
T\bigl(2 - 3t + 4t^3\bigr).
Para isso vamos:
  1. Verificar que os vetores 1,\;1+t,\;t+t^2,\;t^2+t^3 são base de P_3.
  2. Escrever o polinômio genérico como combinação linear dessa base.
  3. Usar linearidade de T e as imagens dadas para obter a fórmula geral.
  4. Substituir x=2, y=-3, z=0, w=4.

Passo 2

Definimos
v_1 = 1,\quad v_2 = 1+t,\quad v_3 = t+t^2,\quad v_4 = t^2+t^3.
Em coordenadas na base \{1,t,t^2,t^3\}, essas tuplas formam uma matriz triangular de posto máximo, logo são base de P_3(\mathbb{R}).

Passo 3

Queremos
x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3 \;=\; a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 + d\,v_4.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} a + b = x,\\\ b + c = y,\\\ c + d = z,\\\ d = w. \end{cases}
Logo
d = w,\quad c = z - w,\quad b = y - c = y - (z - w) = y - z + w,
a = x - b = x - (y - z + w) = x - y + z - w.

Passo 4

Pela linearidade,
T\bigl(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3\bigr) = a\,T(v_1) + b\,T(v_2) + c\,T(v_3) + d\,T(v_4).
E o enunciado dá
T(v_1)=1 - t,\quad T(v_2)=t^3,\quad T(v_3)=3 - t^2,\quad T(v_4)=1 + t^2.

Passo 5

Substituindo a,b,c,d e somando termos, obtemos
T(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3) = (x - y + z - w)(1 - t) + (y - z + w)\,t^3 + (z - w)(3 - t^2) + w\,(1 + t^2).
Agrupando coeficientes em 1,t,t^2,t^3:
\begin{aligned} \text{constante:}&\quad (x - y + z - w) + 3(z - w) + w = x - y + 4z -3w,\\\ \text{coef. de }t:&\quad -\bigl(x - y + z - w\bigr)= -x + y - z + w,\\\ \text{coef. de }t^2:&\quad -(z - w) + w = -z +2w,\\\ \text{coef. de }t^3:&\quad y - z + w. \end{aligned}
Portanto
\boxed{ T\bigl(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3\bigr) = (x - y + 4z -3w) +(-x + y - z + w)\,t +(-z +2w)\,t^2 +(y - z + w)\,t^3. }

Passo 6

Agora fazemos x=2, y=-3, z=0, w=4:
\begin{aligned} \text{constante:}&\;2 -(-3) +4\cdot0 -3\cdot4 = 2+3 -12 = -7,\\\ \text{coef. de }t:&\;-2 +(-3) -0 +4 = -1,\\\ \text{coef. de }t^2:&\;-0 +2\cdot4 = 8,\\\ \text{coef. de }t^3:&\;-3 -0 +4 = 1. \end{aligned}
Logo
\boxed{ T\bigl(2 -3t +4t^3\bigr) = -7 \;-\; t \;+\;8\,t^2 \;+\; t^3. }

Resposta

Tendo em vista o polinômio genérico p(t)=x+y\,t+z\,t^2+w\,t^3,
T\bigl(p(t)\bigr) = (x - y + 4z - 3w) +(-x + y - z + w)\,t +(-z + 2w)\,t^2 +(y - z + w)\,t^3.
Em particular,
T\bigl(2 - 3t + 4t^3\bigr) = -7 \;-\; t \;+\; 8\,t^2 \;+\; t^3.

Exercícios relacionados