Seja T a transformação Linear em P_{3}(R) dada por : P(1)=1-t P(1+t)=t^{3} P\left(t+t^{2}\right)=3-t^{2} P\left(t^{2}+t^{3}\right)=1+t^{2}
Vamos determinar T\left(x+y t+z t^{2}+w t^{3}\right) onde x+y t+z t^{2}+w t^{3} é um polinômio qualquer de P_{3}(R) e, a seguir, calcule T\left(2-3 t+4 t^{3}\right).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear T\colon P_{3}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R}) pelas imagens de quatro polinômios que formam uma base. Nosso objetivo é achar uma fórmula geral para
T\bigl(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3\bigr)
e depois calcular
T\bigl(2 - 3t + 4t^3\bigr).
Para isso vamos:
Verificar que os vetores 1,\;1+t,\;t+t^2,\;t^2+t^3 são base de P_3.
Escrever o polinômio genérico como combinação linear dessa base.
Usar linearidade de T e as imagens dadas para obter a fórmula geral.
T(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3) = (x - y + z - w)(1 - t) + (y - z + w)\,t^3 + (z - w)(3 - t^2) + w\,(1 + t^2).
Agrupando coeficientes em 1,t,t^2,t^3:
\begin{aligned} \text{constante:}&\quad (x - y + z - w) + 3(z - w) + w = x - y + 4z -3w,\\\ \text{coef. de }t:&\quad -\bigl(x - y + z - w\bigr)= -x + y - z + w,\\\ \text{coef. de }t^2:&\quad -(z - w) + w = -z +2w,\\\ \text{coef. de }t^3:&\quad y - z + w. \end{aligned}
Portanto
\boxed{ T\bigl(x + y\,t + z\,t^2 + w\,t^3\bigr) = (x - y + 4z -3w) +(-x + y - z + w)\,t +(-z +2w)\,t^2 +(y - z + w)\,t^3. }